2023年中考数学精选真题实战测试31 三角形 A

试卷更新日期：2023-01-25 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、3，3，6 B、3，5，10 C、4，6，9 D、4，5，9

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2. 如图，直线l₁ $∥$ l₂ ，点C、A分别在l₁、l₂上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l₁于点B，连接AB.若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）

A、10° B、15° C、20° D、30°

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3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（）

A、 $A G = C G$ B、 $∠ B = 2 ∠ H A B$ C、 $△ C A H ≅ △ B A G$ D、 $B G^{2} = C G \cdot C B$

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4. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，按下列步骤作图：
第一步：在 $A B 、 A C$ 上分别截取 $A D 、 A E$ ，使 $A D = A E$ ；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于 $D E$ 的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线 $A F$ 交 $B C$ 于点M；
第四步：过点M作 $M N ⊥ A B$ 于点N．
下列结论一定成立的是（）

A、 $C M = M N$ B、 $A C = A N$ C、 $∠ C A M = ∠ B A M$ D、 $∠ C M A = ∠ N M A$

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5. 如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（）

A、△AOB是等边三角形 B、PE=PF C、△PAE≌△PBF D、四边形OAPB是菱形

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6. 如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，过点D分别作 $D E ⊥ A B ， D F ⊥ A C$ ，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（）

A、 $∠ A D C = 90^{\circ}$ B、 $D E = D F$ C、 $A D = B C$ D、 $B D = C D$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM.若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则AM的长为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C = 60 °$ ，点 $D$ 为边 $A C$ 的中点， $B D = 2$ ，则 $B C$ 的长为（）.

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、4

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10. 如图，在边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，动点E在 $A B$ 边上（与点A、B均不重合），点F在对角线 $A C$ 上， $C E$ 与 $B F$ 相交于点G，连接 $A G ， D F$ ，若 $A F = B E$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $D F = C E$ B、 $∠ B G C = 120 °$ C、 $A F^{2} = E G \cdot E C$ D、 $A G$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：

（1）分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．
已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为.

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12. 矩形ABCD中， $A B = 8$ ， $A D = 7$ ，点E在AB边上， $A E = 5$ ．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．

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13. 如图.在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C$ .以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 长为半径作弧，在 $∠ B A C$ 内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作 $F G ⊥ A B$ ，垂足用G.若 $A B = 8 cm$ ，则 $△ B F G$ 的周长等于cm.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是中线 $A D$ 的中点.若 $△ A E C$ 的面积是1，则 $△ A B D$ 的面积是.

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15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．

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16. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ $2 \sqrt{10}$ ， CD＝2，则△ABE的面积为．

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 、 $E$ 是 $B C$ 边上的点，且 $B D = C E$ ，求证： $A D = A E$ .

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18. 如图，在矩形ABCD中，AB= $\frac{1}{2}$ BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．

(1)、若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；

(2)、若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．

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19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．

(1)、作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、求证：AD＝AE．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD是 $△ A B C$ 的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF．

(1)、由作图可知，直线MN是线段AD的．

(2)、求证：四边形AEDF是菱形．

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21. 如图

(1)、如图1， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC．线段AD与BC的数量关系为；

(2)、如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕点O顺时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 90 °$ ）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

(3)、如图，若 $A B = 8$ ，点C是线段AB外一动点， $A C = 3 \sqrt{3}$ ，连接BC，
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值 ▲ ；
②若以BC为斜边作 $R t △ B C D$ ，（B、C、D三点按顺时针排列）， $∠ C D B = 90 °$ ，连接AD，当 $∠ C B D = ∠ D A B = 30 °$ 时，直接写出AD的值．

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22. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点D在线段 $A B$ 上，连接 $C D$ 并延长至点E，使 $D E = C D$ ，过点E作 $E F ⊥ A B$ ，交直线 $A B$ 于点F．

(1)、如图1，若 $∠ A C B = 120 °$ ，请用等式表示 $A C$ 与 $E F$ 的数量关系：．

(2)、如图2．若 $∠ A C B = 90 °$ ，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示 $A C ， A D ， D F$ 之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若 $D F = 1 ， A D = 3$ ，请直接写出 $A C$ 的长．

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23. 【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

(1)、小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明 $△$ ADE≌ $△$ ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．

(2)、【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．

(3)、【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝ $\sqrt{6}$ ， AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．

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