2023年浙教版数学七年级下册全方位训练卷3.4乘法公式

试卷更新日期：2023-01-25 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列多项式乘以多项式中，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(- x - y) (- x + y)$ B、 $(x - y) (- x + y)$ C、 $(- x - y) (x + y)$ D、 $(- x - y) (- x - y)$

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2. 如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形；验证了一个等式，则这个等式是（）

A、a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b） B、（a+b）2＝a²+2ab+b² C、（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b² D、a²﹣ab＝a（a﹣b）

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3. 我们知道，借助图形可以验证公式.下列图形可以用来验证平方差公式a²−b²=（a+b）（a−b）的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 某同学粗心大意，分解因式时，把式子中的 $a^{4} - \oplus = (a^{2} - b) (a^{2} + b)$ 一部分弄污了，那么你认为式子中的 $\oplus$ 所对应的代数式是（）

A、 $b$ B、 $b^{2}$ C、 $2 b$ D、 $b^{4}$

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5. 将边长分别为 $a + b$ 和a-b的两个正方形摆放成如图所示的位置，则阴影部分的面积化简后的结果（）

A、 $a - b$ B、 $a + b$ C、2ab D、4ab

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6. 如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（）

A、（a＋b）²＝a²＋2ab＋b² B、（a﹣b）²＝a²＋2ab﹣b² C、（a＋b）（a﹣b）＝a²﹣b² D、（a﹣b）²＝a²﹣2ab＋b²

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7. 有两个正方形 $A ， B$ ，现将 $B$ 放在 $A$ 的内部得图甲，将 $A ， B$ 并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形 $A ， B$ 的面积之和为（）

A、13 B、11 C、19 D、21

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8. 今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案：

计算：

① ${(- 3 a^{2})}^{3} = - 9 a^{6}$ ；② $(- a^{2}) \cdot a^{3} = a^{5}$ ；③ ${(2 x - y)}^{2} = 4 x^{2} - y^{2}$ ； ④ $a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{4}$

则小刚做对的题数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9. 若 $x + y = - 2$ ， $x^{2} + y^{2} = 10$ ，则 $x y =$ （）

A、-3 B、3 C、-4 D、4

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10. 在多项式 $16 x^{2} + 1$ 添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（）
嘉琪：添加 $\pm 8 x$ ， $16 x^{2} + 1 \pm 8 x = {(4 x \pm 1)}^{2}$
陌陌：添加 $64 x^{4}$ ， $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 = {(8 x^{2} + 1)}^{2}$
嘟嘟：添加 $- 1$ ， $16 x^{2} + 1 - 1 = 16 x^{2} = {(4 x)}^{2}$

A、嘉琪和陌陌的做法正确 B、嘉琪和嘟嘟的做法正确 C、陌陌和嘟嘟的做法正确 D、三位同学的做法都错误

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 已知 $x - \frac{1}{x} = 3$ ， $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ ．

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12. 计算： ${(2 a - b + 3 c)}^{2} =$ ．

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13. 如图，在边长为a(cm)的大正方形内放入三个边长都为b(cm)(a＞b)的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是4cm² ，则a²－2ab＋b²的值为.

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14. 已知 $a + 2 b = 1$ ，则 $a^{2} - 4 b^{2} + 4 b$ 的值为．

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15. 计算： $29 5^{2} + 10 \times 295 + 5^{2} =$

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16. 若 $S = (1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times \dots \times (1 - \frac{1}{2021^{2}}) (1 - \frac{1}{2022^{2}})$ ，则 $S$ 的值为．

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三、计算题（共2题，共20分）

17. 运用整式乘法公式进行计算

(1)、（50 $\frac{1}{50}$ ）²

(2)、123²-122×118.

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18. 要求：利用乘法公式计算

(1)、 $2023 \times 2021 - 202 2^{2}$

(2)、 $(2 x - y + 3) (2 x - y - 3)$

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四、解答题（共7题，共46分）

19. 先化简，再求值： $(2 x + 5) (2 x - 5) + {(x - 3)}^{2} - 6 x (x - 1)$ ，其中 $x = 6$ .

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20. 已知 $m^{2} - 5 m - 1 = 0$ ，求 $2 m^{2} - 5 m + \frac{1}{m^{2}}$ 的值．

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21. 证明 $9^{24} - 1$ 是13的倍数．

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22. 将多项式 $9 x^{2} + x$ 加上一个整式后，使它能成为另一个整式的平方，你有哪些方法，请写出三类不同的解法.

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23. 已知 $x - y = 2$ ， $x^{2} + y^{2} = 6$ ，

(1)、求代数式 $x y$ 的值；

(2)、求代数式 $x^{3} y - 3 x^{2} y^{2} + x y^{3}$ 的值．

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24. 【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为 $(a + b)$ 的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为 ${(a + b)}^{2}$ ，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为 $a^{2}$ 的正方形有1块，面积为 $b^{2}$ 的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．

(1)、【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式 $(2 a + b) (a + 2 b) =$ ；

(2)、【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式 ${(a + b + c)}^{2} =$ ；

(3)、【拓展应用】若 $a + b + c = 10$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 50$ ，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积．

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25. 完全平方公式 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 进行适当的变形后，可以解决很多的数学问题．
如：若x满足 $(9 - x) (x - 4) = 4$ ，求 ${(9 - x)}^{2} + {(x - 4)}^{2}$ 的值．

解题思路：由 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 得 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ ，

可设 $9 - x = a$ ， $x - 4 = b$ ，则 $(9 - x) (x - 4) = a b = 4$ ， $a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$ ，

∴ ${(9 - x)}^{2} + {(x - 4)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$ ；

(1)、请仿照上面的方法求解下面问题：
①若x满足 $(6 - x) (x - 2) = 2$ ，求 ${(6 - x)}^{2} + {(x - 2)}^{2}$ 的值；

②若x满足 $(6 + x) (2 + x) = 5$ ，求 ${(6 + x)}^{2} + {(2 + x)}^{2}$ 的值；

(2)、应用上面的解题思路解决问题：如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设 $A B = 8$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 34$ ，求图中阴影部分的面积．

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