2023年中考数学复习考点一遍过——二次函数

试卷更新日期：2023-01-19 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ （x-3）²+1的顶点坐标为（）

A、（3，-1） B、（3，1） C、（-3、-1） D、（-3，1）

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2. 已知（m-1，y₁），（m，y₂），（m+2，y₃）是二次函数y＝-x²+2mx+n图象上的点，则有（）

A、y₁＜y₂＜y₃ B、y₃＜y₂＜y₁ C、y₁＜y₃＜y₂ D、y₃＜y₁＜y₂

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3. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．若 $y > - 3$ ，则自变量x的取值范围是（）

A、 $x < 0$ 或 $x > 2$ B、 $x < 1$ 或 $x > 3$ C、 $0 < x < 2$ D、 $1 < x < 3$

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4. 关于二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ，下列说法中正确的是（）

A、图象开口向上 B、图象的对称轴是直线 $x = - 1$ C、当 $x > 1$ 时，y随x的增大而减小 D、函数的最大值为3

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5. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，图象过点 $A (- 3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ， ① $b^{2} - 4 a c > 0$ ② $4 a + c < 0$ ③当 $- 3 \leq x \leq 1$ 时， $y \geq 0$ ④若 $B (- \frac{5}{2} ， y_{1})$ ， $C (- \frac{1}{2} ， y_{2})$ 为函数图象上的两点，则 $y_{1} > y_{2}$ ，以上结论中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 把抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 2$ 向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（）

A、（5，-4） B、（5，0） C、（-1，-4） D、（-1，0）

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7. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 1$ （a，b是常数， $a \neq 0$ ）的图象经过 $A (2 ， 1)$ ， $B (4 ， 3)$ ， $C (4 ， - 1)$ 三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线 $y = x - 1$ 上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（）

A、最大值为-1 B、最小值为-1 C、最大值为 $- \frac{1}{2}$ D、最小值为 $- \frac{1}{2}$

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 过点 $(- 1 ， 0)$ 和点 $(0 ， - 3)$ ，且顶点在第四象限，设 $P = a + b + c$ ，则 $P$ 的取值范围是（）.

A、 $- 3 < P < - 1$ B、 $- 6 < P < 0$ C、 $- 3 < P < 0$ D、 $- 6 < P < - 3$

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的x、y的部分对应值如下表：

x

-1

0

1

2

3

y

5

1

-1

-1

1

下列结论中正确的有（）个．

① $a > 0$ ；②抛物线的对称轴是直线 $x = \frac{3}{2}$ ；③不等式 $a x^{2} + b x + c - 1 < 0$ 的解集是 $0 < x < 3$ ；④1是方程 $a x^{2} + (b + 1) x + c = 0$ 的根．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，一段抛物线 $y = \frac{3}{4} x^{2} + 3 x (0 \leq x \leq 4)$ 记为 $C_{1}$ ，它与x轴交于两点O， $A_{1}$ ，将 $C_{1}$ 绕 $A_{1}$ 旋转 $18 0^{°}$ 得到 $C_{2}$ ，交x轴于 $A_{2}$ ，将 $C_{2}$ 绕 $A_{2}$ 旋转 $18 0^{°}$ 得到 $C_{3}$ ，交x轴于 $A_{3}$ ，一直进行下去，直至得到 $C_{506}$ ，则抛物线 $C_{506}$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2020 ， 3)$ B、 $(2020 ， - 3)$ C、 $(2022 ， 3)$ D、 $(2022 ， - 3)$

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二、填空题（每题3分，共24分）

11. 函数 $y = (m + 3) x^{m^{2} - 7}$ 是二次函数，则m的值为．

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12. 已知 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(- 2 ， y_{2})$ ， $(- 4 ， y_{3})$ 是抛物线 $y = - 2 x^{2} - 8 x + m$ 上的点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系为.

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13. 点 $P (2 ， 9)$ 为二次函数 $y = a x^{2} + 6 a x + 5$ 图象上一点，其对称轴为 $l$ ，则点 $P$ 关于 $l$ 的对称点的坐标为.

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14. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像一部分如图所示，且顶点在第四象限，令 $S = a + b + c$ ，则S的取值范围是.

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15. 二次函数 $y = - x^{2} + 2 x - 4$ ，当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，y的取值范围是.

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16. 大强对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为 $y = - \frac{1}{6} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{5}{3}$ ，由此可知大强此次实心球训练的成绩为米.

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17. 如图， $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在左边）与 $y$ 轴交于 $C$ 点， $P$ 是线段 $A C$ 上的一点，连结 $B P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，连结 $O P$ ，当 $△ O A P$ 和 $△ P Q C$ 的面积之和与 $△ O B Q$ 的面积相等时，点 $P$ 的坐标为.

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18. 如图，在平面直角坐标系中有 $M (1 ， 2)$ ， $N (3 ， 3)$ 两点，如果抛物线 $y = a x^{2} (a > 0)$ 与线段 $M N$ 没有公共点，则a的取值范围是．

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三、解答题（共8题，共66分）

19. 已知抛物线 $y = 2 x^{2} - 6 x + 3$ ．请用配方法将其化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，并写出其开口方向、对称轴及顶点坐标．

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20. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=-5t²+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $A (0 ， - 2) ， B (2 ， 0)$ 两点．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、若一次函数 $y = m x + n$ 的图象也经过A，B两点，结合图象，直接写出不等式 $x^{2} + b x + c < m x + n$ 的解集．

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22. 利民商店销售一种进价为50元/件的土特产商品，当售价为60元/件，每周可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖10件．求利民商店将售价上涨多少时每周可获得最大利润？最大利润是多少？

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23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝-x²+2kx+k-1（k是常数）.

(1)、当k＝-2时，求该二次函数图象与x轴的交点坐标；

(2)、若该函数图象经过点（1，4），求该二次函数图象的顶点坐标；

(3)、当0≤x≤1时，该函数有最大值4，求k的值.

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24. 某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量 $y$ （件）和销售单价 $x$ 之间的一次函数关系如下表（ $x \geq 50$ 的整数）.
销售单价 $x$ （元/件）
…
50
51
52
…
每天销售量 $y$ （件）
…
100
95
90
…

(1)、写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式.

(2)、问定价 $x$ 为多少时，每天获得利润最大，并求最大利润.

(3)、商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为 $w$ 元，则总利润 $w$ 的最大值为（直接写出答案）.

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25. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 k x + 1 - k .$ （k是常数）

(1)、求此函数的顶点坐标.

(2)、当 $x ≥ 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，求 $k$ 的取值范围.

(3)、当 $0 \leq x \leq 1$ 时，该函数有最大值 $3$ ，求 $k$ 的值.

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，与 $x$ 轴交于点A和点B，其中点A的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，抛物线的对称轴 $x = 1$ 与抛物线交于点D，与直线 $B C$ 交于点E.

(1)、求抛物线的解析式：

(2)、若点F是直线 $B C$ 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形 $A B F C$ 的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由：

(3)、探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由.

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销售单价 $x$ （元/件）	…	50	51	52	…
每天销售量 $y$ （件）	…	100	95	90	…