【备战2023年高考】（全国乙卷）文科数学真题变式题第9题立体几何

试卷更新日期：2023-01-14 类型：二轮复习

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一、真题

1. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $A B ， B C$ 的中点，则（）

A、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $B D D_{1}$ B、平面 $B_{1} E F ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ C、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} A C$ D、平面 $B_{1} E F ∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$

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二、变式题

2. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，且 $P A = A B = 6$ ，过点A作 $P C$ 的垂面分别交 $P B$ ， $P C$ ， $P D$ 于点E，F，G，则四边形 $A E F G$ 的面积为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $7 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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3. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B$ 、 $A D$ 、 $D_{1} C_{1}$ 、 $C_{1} B_{1}$ 的中点分别为 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ，则下列直线中，与两平面 $A C D_{1}$ 、 $B D C_{1}$ 交线平行的一条直线是（）

A、 $E H$ B、 $H G$ C、 $E G$ D、 $F H$

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4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则下列判断错误的是（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A C B_{1}$ B、平面 $A_{1} C_{1} D$ ∥平面 $A C B_{1}$ C、直线 $B D_{1}$ 过 $△ A_{1} C_{1} D$ 的垂心 D、平面 $A C B_{1}$ 与平面 $A B C D$ 夹角为 $45 °$

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5. 设m，n是不同的直线， $α$ ， $β$ 是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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6. 已知m，n是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ γ$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$

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7. 如图正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长相等， $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $C_{1} D$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 设 $α$ ， $β$ ， $γ$ 是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个命题：
①若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ β$ ；②若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ ；③若 $m ∥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ ；④若 $α ⊥ β$ ， $a \cap β = m$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ β$ ．
其中所有正确命题的序号是（）

A、①② B、② C、④ D、②③

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9. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在棱 $D D_{1}$ 上，过点 $C$ 作平面 $B M C_{1}$ 的平行平面 $α$ ，记平面 $α$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线为 $l$ ，则 $A_{1} C$ 与 $l$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，线段 $C D_{1}$ 上有两个动点E，F，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，点P，Q分别为 $A_{1} B_{1} ， B B_{1}$ 的中点，G在侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上运动，且满足 $B_{1}$ G∥平面 $C D_{1} P Q$ ，以下命题错误的是（）

A、 $A B_{1} ⊥ E F$ B、多面体 $A E F B_{1}$ 的体积为定值 C、侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上存在点G，使得 $B_{1} G ⊥ C D$ D、直线 $B_{1} G$ 与直线BC所成的角可能为 $\frac{π}{6}$

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11. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列条件不能推出 $α ⊥ β$ 的是（）

A、 $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ， $m ∥ n$ B、 $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ∥ n$ C、 $m ∥ α$ ， $n ∥ β$ ， $m ⊥ n$ D、 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱AD， $A_{1} B_{1}$ 的中点，则异面直线EF与 $A D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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13. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1} = 2 A D ， E ， F ， G ， H$ 分别是棱 $A D ， C_{1} D_{1} ， B C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $G H$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14. 已知 $m$ ， $n$ 是两条直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个平面，则下列说法错误的是（）

A、若 $α ∥ β$ ， $β ∥ γ$ ，则 $α ∥ γ$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ γ$ ，则 $n ⊥ γ$ D、若 $m \subset α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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15. 在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点，则直线 $C E$ 与直线 $A D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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【备战2023年高考】（全国乙卷）文科数学真题变式题第9题 立体几何

一、真题

二、变式题

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