人教版八年级数学2023年寒假专项训练----复习部分第十五章分式 B卷

试卷更新日期：2023-01-14 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 下列式子从左到右变形一定正确的是（）

A、 $\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a + 2}{b + 2} = \frac{a}{b}$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{a^{2}}{a b}$ D、 $\frac{a^{2}}{a b} = \frac{a}{b}$

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2. 下列各式中，计算结果正确的有（）
⑴ $\frac{3 x}{x^{2}} \cdot \frac{x}{3 x} = \frac{1}{x}$ （2） $a \div b \times \frac{1}{b} = a$ （3） $\frac{a}{a^{2} - 1} \div \frac{a^{2}}{a^{2} + a} = \frac{1}{a - 1}$ （4） $8 a^{2} b^{2} \div (- \frac{3 a}{4 b^{2}}) = - 6 a^{3} b$ ⑸ $\frac{1}{c} + \frac{2}{c} = \frac{3}{c}$ （6） $\frac{0.2 a + b}{0.7 a - b} = \frac{2 a + b}{7 a - b}$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 若关于x的方程 $2 + \frac{a}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$ 有增根，则a的值是（）

A、3 B、-3 C、1 D、-1

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4. 学期即将结束，某班家委为班上获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备A、B两种礼物.A、B两种礼物的总价分别为450元和420元，且A种礼物比B种礼物多10份，A、B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的0.9倍和1.2倍，这一批礼物平均单价是（）

A、15元 B、 $\frac{55}{6}$ 元 C、10元 D、8.5元

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5. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，根据题意，所列的方程是（）

A、 $\frac{15}{x + 1} - \frac{15}{x} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{15}{x} - \frac{15}{x + 1} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{15}{x - 1} - \frac{15}{x} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{15}{x} - \frac{15}{x - 1} = \frac{1}{2}$

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6. 如果把分式 $\frac{2 x}{x y}$ 中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值（）

A、不变 B、扩大为原来的10倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{10}$ 倍 D、缩小为原来的 $\frac{1}{100}$

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7. 某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩 $A$ 和 $B$ ，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩 $A$ 盈利了50%，而冰墩墩 $B$ 却亏损了40%，则这次超市是（）

A、不赚不赔 B、赚了 C、赔了 D、无法判断

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8. 关于x ， y的方程xy﹣x+y＝﹣3的整数解（x ， y）的对数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如果 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正数，且满足 $a + b + c = 1$ ， $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = 5$ ，那么 $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

10. 若3a-2b＝0，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为.

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11. $\frac{1}{2 a^{2} b}$ 与 $\frac{2}{3 a b^{3} c}$ 的最简公分母是．

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12. 方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{2}{3 - x}$ 的根是．

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13. 已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 $\frac{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}{x y} + \frac{(y^{2} - 1) (z^{2} - 1)}{y z} + \frac{(z^{2} - 1) (x^{2} - 1)}{z x}$ =4.求 $\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}$ 的值为.

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三、解答题

14. 已知实数a，b，c满足 $a + b + c = 0$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，求 $(a^{5} + b^{5} + c^{5}) \div a b c$ 的值.

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15. 扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量?

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16. 阅读下面材料，并解答问题.
将分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

解：由分母为x²﹣1，可设x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b.

则x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b＝x⁴﹣x²+ax²﹣a+b＝x⁴+（a﹣1）x²﹣a+b

∴ ${\begin{cases} a - 1 = 1 \\ - a + b = - 3 \end{cases}$ ，∴ ${\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$

∴ $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2) - 1}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2)}{x^{2} - 1}$ ﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ ＝（x²+2）﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$

这样，分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 被拆分成了一个整式x²+2与一个分式﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 的和.

根据上述作法，将分式 $\frac{x^{4} + 6 x^{2} - 8}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

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四、综合题

17. 我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 $\frac{4}{x + 2}$ ， $\frac{3 x^{2}}{x^{3} － 4 x}$ 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 $\frac{x + 1}{x － 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 1}$ 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， $\frac{x + 1}{x － 1}$ = $\frac{(x - 1) + 2}{x － 1}$ =1＋ $\frac{2}{x － 1}$ ， $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ = $\frac{2 x + 2 - 5}{x + 1}$ = $\frac{2 x + 2}{x + 1}$ + $\frac{- 5}{x + 1}$ = 2＋ $\frac{- 5}{x + 1}$ ．

(1)、将假分式 $\frac{4 x － 5}{x + 1}$ 化为一个整式与一个真分式的和；

(2)、将假分式 $\frac{a^{2} － 4 a + 6}{a － 1}$ 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： $\frac{a^{2} － 4 a + 6}{a － 1}$ = a＋m＋ $\frac{n}{a － 1}$ ，求m、n的值；并直接写出当整数a为何值时，分式 $\frac{a^{2} － 4 a + 6}{a － 1}$ 为正整数；

(3)、自然数A是 $\frac{10^{18} + 2022}{10^{9} + 2}$ 的整数部分，则A的数字和为．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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