初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 17.1 勾股定理）

试卷更新日期：2023-01-13 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图， $R t △ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $A B = 4$ ，则BC的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 直角 $△ A B C$ 的斜边为5，一条直角边为4，则此三角形的面积是（）

A、10 B、20 C、12 D、6

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3. 如图，数轴上的点A表示的数是1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 1$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2.8 D、 $2 \sqrt{2} + 1$

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4. 两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（）

A、120cm B、160cm C、200cm D、280cm

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5. 如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为（）

A、60海里 B、45海里 C、20 $\sqrt{3}$ 海里 D、30 $\sqrt{3}$ 海里

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6. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，且 $A D = \sqrt{3}$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、4 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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8. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则网格上△ABC中，边长为无理数的边长有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若用S_甲、S_乙、S_丙、S_丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（）

A、S_甲＝ S_丁 B、S_乙＝S_丙 C、S_甲＋S_乙＝S_丙＋S_丁 D、S_甲－S_乙＝S_丙－S_丁

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2 $\sqrt{5}$ ， BC=4，则DF的长为（）

A、0.5 B、1 C、1.5 D、2

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二、填空题（每题3分，共30分）

11. 在Rt△ABC中， $∠ C = 90 °$ ，已知AB=15，AC=9，则BC=.

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12. 如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是．

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13. 直角三角形的两直角边长是 $\sqrt{3} c m$ 和3cm，则它的斜边上的高是cm．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①分别以点 $B$ 和 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和 $N$ ；②作直线 $M N$ 交边 $A B$ 于点 $E$ ．若 $A C = 5$ ， $B E = 4$ ， $∠ B = 45 °$ ，则 $A B$ 的长为．

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15. 一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为时，此三角形为直角三角形．

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16. 一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为米

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17. 如图的阴影部分是一个半圆，它的面积是．（结果保留π）

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18. 如图，图1中是第七届国际数学教育大会（ICME－7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot = A_{7} A_{8} = 1$ ，若 $S_{1}$ 代表 $△ A_{1} O A_{2}$ 的面积， $S_{2}$ 代表 $△ A_{1} O A_{2}$ 的面积，以此类推， $S_{2}$ 代表 $△ A_{7} O A_{8}$ 的面则 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + S_{7}^{2}$ 的值为．

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19. 某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．

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20. 如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．已知 $S_{1} = 1$ ， $S_{3} = 3$ ，则 $S_{2}$ = ．

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三、解答题（共6题，共60分）

21. 如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即 $B C = 8$ ，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？

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22. 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦12米（ $A C$ 的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯 $A B$ 长20米，云梯底部距地面3米（ $A E$ 的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高（ $B D$ 的长）？

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23. 如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛 $5 \sqrt{13}$ 海里的C处，求该船的行驶速度．

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24. 如图， $R t △ A B C ， ∠ C = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 4$ ．

(1)、尺规作图：作 $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点D，交 $A B$ 于点E（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的基础上，连接 $B D$ ，求 $B D$ 的长．

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25. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．

(1)、求AB和DE的长；

(2)、求△ADB的面积．

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26. 如图，在△ABC中， BC=a，AC=b，AB=c，若∠C为直角，如图1，则有结论： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：

(1)、分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下 $a^{2} + b^{2}$ 与 $c^{2}$ 的大小关系；

(2)、任选（1）中的一个猜想进行证明．

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