浙江省绍兴市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $A = {- 1 ， 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 命题“ $\exists x \in [2 ， + \infty)$ ， $x^{2} \leq 4$ ”的否定形式为（）

A、 $\forall x \in [2 ， + \infty)$ ， $x^{2} > 4$ B、 $\forall x \in (- \infty ， 2)$ ， $x^{2} > 4$ C、 $\forall x \in [2 ， + \infty)$ ， $x^{2} \leq 4$ D、 $\forall x \in (- \infty ， 2)$ ， $x^{2} \leq 4$

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3. 若点 $P (s i n \frac{π}{6} ， \frac{1}{2})$ 在角 $α$ 的终边上，则 $t a n α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{4}$

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4. 若函数 $f (x)$ 是R上的偶函数，则“ $a = 3$ ”是“ $f (a - 1) = f (2)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知扇形 $O A B$ 的面积为 $π$ ， $\overset{⌢}{A B}$ 的长为 $π$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - b}{a - 1}$ ，（ $a ， b \in R$ 且 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ），则 $f (x)$ 的单调性（）

A、与 $a$ 无关，与 $b$ 有关 B、与 $a$ 有关，与 $b$ 无关 C、与 $a$ 有关，与 $b$ 有关 D、与 $a$ 无关，与 $b$ 无关

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7. 尽管目前人类还无法准确的预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震级数M之间的关系式为 $l g E = 4.8 + 1.5 M$ .2022年9月18日14时44分在台湾省花莲县发生的6.9级地震它释放出来的能量大约是同年12月8日0时54分花莲近海发生的5.6级地震的（）倍

A、50 B、100 C、200 D、300

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8. 已知函数 $f (x)$ ， $\forall x$ ， $y \in R$ ，有 $f (x + y) = f (x) \cdot f (a - y) + f (y) \cdot f (a - x)$ ，其中 $a \neq 0$ ， $f (a) \neq 0$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、 $f (a) = 1$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 是偶函数 D、存在非负实数T，使得 $f (x) = f (x + T)$

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9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列取值有可能的是（）

A、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = 2$ B、 $a + \frac{b}{a} = 2$ C、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{4}$ D、 $a^{2} + b^{2} = 4 \sqrt{2}$

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二、多选题

10. 已知α是锐角，则（）

A、2α是第二象限角 B、 $s i n 2 α > 0$ C、 $\frac{α}{2}$ 是第一象限角 D、 $t a n \frac{α}{2} < 1$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 1$ ，则（）

A、 $f (x + 1) = {(x + 1)}^{2} - 1$ B、 $f (f (x)) = {(x^{2} - 1)}^{2} - 1$ C、定义域为 $[- 1 ， 0]$ 时，值域为 $[- 1 ， 0]$ D、值域为 ${- 1 ， 0}$ 时，定义域为 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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12. 已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = e^{x} + 2 x - 4$ 的零点（其中 $e = 2.71828$ …为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）

A、 $x_{0} \in (0 ， 1)$ B、 $l n (4 - 2 x_{0}) = x_{0}$ C、 $x_{0}^{2 - x_{0}} > 1$ D、 $2 x_{0} + 1 - e^{- x_{0}} > 0$

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三、填空题

13. 若 $1 0^{x} = 2$ ，则 $x + l g 5 =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{α} - 2^{x}$ 的图象经过点 $(2 ， - \frac{7}{2})$ ，则 $α =$ ．

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15. 已知 $2^{a + 3} + 4^{b} = 4^{a} + 2^{b + 3}$ （a， $b \in R$ 且 $a \neq b$ ），则 $a + b$ 的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ ，若对任意实数x满足不等式 $f (a x^{2}) \cdot f (- 2 x + 1) \geq 1$ ，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 化简求值：

(1)、 $2 7^{\frac{2}{3}} - \sqrt{{(- 3)}^{2}} + l o g_{3} 36 - 2 l o g_{3} 2$ ；

(2)、已知 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{13 c o s (- α) - 2 c o s (\frac{π}{2} - α)}{s i n (\frac{π}{2} + α) + 3 s i n (π + α)}$ 的值．

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18. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | 1 < 2^{x} < 16}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、设集合 $C = {x | a < x < a + 2 ， a \in R}$ ，若 $C \subseteq (A \cup B)$ ，求实数a的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1 + s i n x}{1 - s i n x}} - \sqrt{\frac{1 - s i n x}{1 + s i n x}}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、已知x为第一或第二象限角，且 $f (x) = 2 \sqrt{3}$ ，求x．

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20. 已知a，b为正实数，函数 $f (x) = x^{2} - (a + 2 b) x + 2 a b$

(1)、若 $f (1) = 1$ ，求 $2 a + b$ 的最小值；

(2)、若 $f (0) = 2$ ，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集（用a表示）．

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21. 某地为了改善中小型企业经营困难，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业.某企业A在产业升级前后的数据如下表：

A企业	产量（万件）	投入成本（万元）	销售单价（元/件）
产业升级前	2	45	30
完成产业升级后，获补贴x（万元）（ $x \in [0 ， 20]$ ）	产量 $t = x + 2$ （t为升级后产量）	$8 t + \frac{64}{t} - 3$	$6 + \frac{48}{t}$

若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益＝销售金额＋政府专项补贴－成本．

(1)、当该企业没有政府补贴时，收益是多少？

(2)、从A企业经营者角度分析，是不是申请的政府补贴越多，收益越大？若是请说明理由，若不是，则该企业向政府申请多少专项基金补贴，所获收益最大？

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22. 设函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{x}}$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1]$ 上单调递减；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) + f (1 - x) + a \sqrt{x (1 - x)} (a \in R)$ 的值域．

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