天津市和平区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3} ， B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∪ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 命题“ $\exists x > 0 ， x^{3} \geq 3 x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0 ， x^{3} < 3 x + 1$ B、 $\forall x < 0 ， x^{3} \geq 3 x + 1$ C、 $\forall x > 0 ， x^{3} < 3 x + 1$ D、 $\exists x < 0 ， x^{3} < 3 x + 1$

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3. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形 $O C D$ 截去同心扇形 $O A B$ 所得图形，已知 $O A = 0.2 m$ ， $A D = 0.3 m$ ， $∠ A O B = 120 °$ ，则该扇环形砖雕的面积为（）

A、 $\frac{π}{5} m^{2}$ B、 $\frac{π}{10} m^{2}$ C、 $\frac{π}{100} m^{2}$ D、 $\frac{7 π}{100} m^{2}$

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4. 设 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $a < b$ ”是“ $a^{2} < b^{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. $c o s (- 300 °) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 若 $a = {(\frac{1}{3})}^{0.2}$ ， $b = l o g_{3} \frac{1}{2}$ ， $c = 6^{0.2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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7. 函数 $f (x) = l n x - \frac{3}{x}$ 的零点所在的大致区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， e)$ C、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ D、 $(e ， 3)$

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8. 设 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时，单调递增，若 $f (1 - m) - f (m) < 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $[- 2 ， \frac{1}{2}]$ D、 $(\frac{1}{2} ， 2]$

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9. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，则下列说法不正确的是（）

A、直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 B、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得到 $y = c o s 2 x$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- 1$

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二、填空题

10. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$ 的定义域为．

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11. 不等式 $14 - 4 x^{2} \geq x$ 的解集为.

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12. 若 $t a n α = 2$ ，则 $\frac{c o s α + s i n α}{3 c o s α - s i n α} =$ .

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13. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值.

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14. 已知 $c o s (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (\frac{π}{6} + α) + c o s (\frac{2 π}{3} + α) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{x^{2} - 2 x + a}{x} ， x < - 1 ， \\ (2 a - 1) x + a ， x \geq - 1 \end{array}$ 满足 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，不等式 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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三、解答题

16. 已知 $s i n α = \frac{1}{3}$ ， $α$ 为第二象限角.

(1)、求 $c o s α$ 的值；

(2)、求 $c o s (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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17. 计算：

(1)、 $(2 a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}}) (- 6 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}) \div (3 a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}})$ （式中字母均为正数）；

(2)、 $(2 l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2)$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$ ．

(1)、当 $f (x) = 11$ 时，求x的值；

(2)、当 $x \in [- 2, 1]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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19. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2 x$

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式：

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- 2 ， b)$ 上有最大值，求实数b的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 a x + 1 (x \in [1 ， 2])$ ，记函数 $g (x)$ 的最大值 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的解析式.

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20. 已知函数 $f (x) = 6 c o s x s i n (x - \frac{π}{6}) + \frac{3}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若函数 $y = f (x) - a$ 在 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 存在零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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