陕西省宝鸡市教育联盟2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. $s i n \frac{35 π}{6} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ， $B = {x | x > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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3. 若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 4 k \leq 0$ ”是假命题，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \leq \frac{9}{16}$ B、 $k \geq \frac{9}{16}$ C、 $k < \frac{9}{16}$ D、 $k > \frac{9}{16}$

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4. 已知 $a = 2 l o g_{3} 2 \sqrt{2}$ ， $b = 0 . 3^{0.01}$ ， $c = l o g_{\sqrt{2}} 2$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x l n | x |}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{x^{2}}$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(3 ， 5)$

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7. 若函数 $f (x) = 3 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法中，正确的是

A、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{24}$ 对称 B、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{24} ， 0)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{π}{4} + 2 k π ， \frac{π}{12} + 2 k π]$ ， $k \in Z$ D、函数 $g (x + \frac{5 π}{12})$ 是偶函数

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8. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据 $l g 2 = 0.3010$ ）

A、10 B、12 C、14 D、16

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 1$ 在区间 $[3 ， 8]$ 上单调，则实数m的值可以是（）

A、0 B、8 C、16 D、20

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10. 下列既是存在量词命题又是真命题的是（）

A、 $\exists x \in Z$ ， $x^{2} - x - 2 = 0$ B、至少有个 $x \in Z$ ，使 $x$ 能同时被 $3$ 和 $5$ 整除 C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} < 0$ D、每个平行四边形都是中心对称图形

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11. $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 4 x - x^{2}$ ，则下列说法中错误的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty ， - 2] ∪ [0 ， 2]$ B、 $f (- π) < f (5)$ C、 $f (x)$ 的最大值为4 D、 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 4 ， 4)$

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12. 已知 $a$ ， $b$ 为正实数，且 $a > 1$ ， $b > 1$ ， $a b - a - b = 0$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为 $4$ B、 $2 a + b$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $a + b$ 的最小值为 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为 $2$

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三、填空题

13. 已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角（正角）的弧度数是.

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14. 设实数 $x$ 满足 $x > - 1$ ，函数 $y = 2 + 3 x + \frac{4}{x + 1}$ 的最小值为.

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15. 已知函数 $f (x) = 2 t a n (\frac{x}{2} - \frac{π}{6}) - 1$ ，则 $f (x)$ 的对称中心为.

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16. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 1) x + 4 m^{2} = 0$ 的两根分别在区间 $(0 ， 1)$ ， $(1 ， 2)$ 内，则实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 ${(0.027)}^{- \frac{1}{3}} + \sqrt{{(π - 4)}^{2}} + 2^{\frac{1}{2}} \times \sqrt[6]{\frac{1}{8}}$ ；

(2)、 $l g^{2} 5 + l g^{2} 2 + l g 2 \cdot l g 25 + l o g_{2} 5 \times l o g_{25} 4 + e^{l n 2}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | m < x < m^{2} + 1}$ ， $B = {x | \frac{3}{2} < x < 6 ｝$

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $A ∩ B ；$

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”成立的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (- 3 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象的一条对称轴是 $x = - \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、求 $f (x)$ 的最小值，并求出此时 $x$ 的取值集合.

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20. 已知函数 $f (x) = {(s i n x + c o s x)}^{2} + c o s (2 x + \frac{π}{6}) - 1$ .求：

(1)、函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、方程 $f (x) = 0$ 的解集；

(3)、当 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 时，函数 $y = f (x)$ 的值域.

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[a ， 2 a]$ 上的最大值与最小值之差为1，求a的值；

(2)、解关于x的不等式 $l o g_{\frac{1}{3}} (- a x - 1) > l o g_{\frac{1}{3}} (a - x^{2})$ .

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22. 定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的函数 $f (x)$ 满足对任意的 $x$ ， $y \in (- 2 ， 2)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ ，且当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) > 0$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 是奇函数 $；$

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(- 2 ， 2)$ 上是增函数 $；$

(3)、若 $f (- 1) = - 2$ ， $f (x) \leq t^{2} + a t - 1$ 对任意 $x \in [- 1 ， 1]$ ， $a \in [- 2 ， 2]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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