湖南省岳阳市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 < x < 8}$ ， $B = {x | x^{2} - 14 x + 45 > 0}$ ，则 $A ∪ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(3 ， 5]$ B、 $[5 ， 8)$ C、 $(3 ， 9]$ D、 $(5 ， 8)$

查看试题解析
2. 命题“ $\exists m \in N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \in N$ ”的否定是（）

A、 $\exists m \notin N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \notin N$ B、 $\exists m \in N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \notin N$ C、 $\forall m \notin N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \notin N$ D、 $\forall m \in N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \notin N$

查看试题解析
3. 函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{x}$ 在下列区间中存在零点的是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

查看试题解析
4. 已知 $a = l o g_{2} \frac{1}{3}$ ， $b = 2^{- 3}$ ， $c = 3^{l n 2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

查看试题解析
5. 要得到函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x + c o s x$ 的图象，只需将函数 $g (x) = 2 s i n (x - \frac{π}{6})$ 的图象进行如下变换得到（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

查看试题解析
6. 已知 $s i n (π - x) = 2 s i n (\frac{11 π}{2} - x)$ ，则 $3 s i n 2 x + 4 c o s 2 x$ 的值为（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $- \frac{24}{5}$ C、0 D、 $\frac{6}{5}$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 - a) x - 1 ， x \leq 1 \\ {(x - 1)}^{a} ， x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 3$ B、 $0 < a < 3$ C、 $2 < a < 3$ D、 $2 \leq a < 3$

查看试题解析
8. 已知 $l o g_{2} a + l o g_{2} b = 1$ 且 $\frac{1}{2 a} + \frac{9}{b} \geq m^{2} - 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 1] \cup [3 ， \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3] \cup [1 ， \infty)$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $[- 3 ， 1]$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列函数中满足： $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 的有（）

A、 $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ B、 $f (x) = | x - \frac{π}{4} |$ C、 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{2 x + 1}$ D、 $f (x) = s i n x - c o s x$

查看试题解析
10. 下列结论正确的是（）

A、函数 $y = | s i n x |$ 是以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减的函数 B、若 $x$ 是斜三角形的一个内角，则不等式 $t a n x - \sqrt{3} \leq 0$ 的解集为 $(0 ， \frac{π}{3}]$ C、函数 $y = - t a n (2 x - \frac{3 π}{4})$ 的单调递减区间为 $(\frac{k π}{2} + \frac{π}{8} ， \frac{k π}{2} + \frac{5 π}{8}) (k \in Z)$ D、函数 $y = \frac{1}{2} s i n (2 x - \frac{π}{3}) (x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}])$ 的值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$

查看试题解析
11. 下列结论中正确的是（）

A、若一元二次不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$ ，则 $a + b$ 的值是 $- 14$ B、若集合 $A = {x \in N^{*} ∣ l g x \leq \frac{1}{2}}$ ， $B = {x ∣ 4^{x - 1} > 2}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为4 C、函数 $f (x) = x + \frac{2}{x + 1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ D、函数 $f (x) = 2^{x} - 1$ 与函数 $f (x) = \sqrt{4^{x} - 2^{x + 1} + 1}$ 是同一函数

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + 2}{x^{2} + 1} (a ， b \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists a ， b ∈ R$ ， $f (x)$ 为奇函数 B、 $\exists b \in R ， \forall a \in R$ ， $f (x)$ 为偶函数 C、 $\exists a ， b ∈ R$ ， $f (x)$ 的值为常数 D、 $\exists b \in R ， \forall a \in R$ ， $f (x)$ 有最小值

查看试题解析

三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{l n (3 - 2 x)}{\sqrt{x + 1}}$ 的定义域为．

查看试题解析
14. 用一根长度为2023米的铁丝围成一个扇形，则当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{| x | + 1} + c o s (x + \frac{π}{2}) + 2}{2^{| x |} + 1}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m$ 的值为．

查看试题解析
16. 请写出一个函数 $f (x)$ ，使它同时满足下列条件：（1） $f (x)$ 的最小正周期是4；（2） $f (x)$ 的最大值为2． $f (x) =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17.

(1)、已知实数 $x$ 满足 $x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $x - x^{- 1}$ 的值．

(2)、若 $3^{x} = 4^{y} = 6^{z} \neq 1$ ，求证： $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} = \frac{1}{z}$ ．

查看试题解析
18. 已知 $s i n α = \frac{4}{5}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s β = - \frac{5}{13}$ ，求 $c o s (α - β)$ 的值．

查看试题解析
19. 已知命题：“ $\forall x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $x^{2} - 2 m x - 3 m^{2} < 0$ 成立”是真命题．

(1)、求实数 $m$ 取值的集合 $A$ ；

(2)、设不等式 $(x - 3 a) (x - a - 2) < 0$ 的解集为 $B$ ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6})$ （其中 $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ ， $x \in [0 ， π]$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $g (x) = f (x) + m$ 有两个零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

查看试题解析
21. 党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 $x$ （单位：百万元）的函数 $M (x)$ （单位：百万元）： $M (x) = \frac{80 x}{20 + x}$ ；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 $x$ （单位：百万元）的函数 $N (x)$ （单位：百万元）： $N (x) = \frac{1}{4} x$ ．

(1)、设分配给植绿护绿项目的资金为 $x$ （百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为 $y$ （百万元），写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出 $y$ 的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？

查看试题解析
22. 若函数 $y = f (x)$ 对定义域内的每一个值 $x_{1}$ ，在其定义域内都存在唯一的 $x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) = 1$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 具有性质 $M$ ．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 是否具有性质 $M$ ，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$ 的定义域为 $[m ， n] (m ， n \in N *$ 且 $m > 2)$ 且具有性质 $M$ ，求 $m n$ 的值；

(3)、已知 $a < 2$ ，函数 $f (x) = {(2^{x} - a)}^{2}$ 的定义域为 $[1 ， 2]$ 且 $f (x)$ 具有性质 $M$ ，若存在实数 $x \in [1 ， 2]$ ，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (x) \geq s t^{2} + s t + 4$ 都成立，求实数 $s$ 的取值范围．

查看试题解析