湖北省荆州市八县市2022-2023学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 空间中点 $A (1 ， 2 ， 3)$ 到点 $B (0 ， 2 ， 1)$ 的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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2. $l_{1} ： a^{2} x - y + a^{2} - 3 a = 0$ ， $l_{2} ： (4 a - 3) x - y - 2 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、1或2 C、1或3 D、3

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3. 已知正三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ ， $M$ 为棱 $B C$ 上靠近点 $C$ 的三等分点，则 $\vec{A_{1} M} =$ （）

A、 $\vec{A_{1} C_{1}} - \vec{C C_{1}} + \frac{2}{3} \vec{C_{1} B_{1}}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A_{1} C_{1}} + \frac{1}{2} \vec{A_{1} B_{1}} + \vec{B_{1} B}$ C、 $\vec{A_{1} C_{1}} + \frac{1}{3} \vec{C_{1} B_{1}} + \vec{C_{1} C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A_{1} C_{1}} + \frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{C_{1} C}$

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4. 若 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{3} - 2 n^{2}$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ （）

A、86 B、112 C、156 D、84

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5. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0 ）$ 的左右焦点，P为C上一动点，A为C的左顶点，若 $3 \vec{P F_{1}} = 2 \vec{P A} + \vec{P F_{2}}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} - a_{x} = a_{y} - a_{7}$ ，则 $x y$ 的值不可能是（）

A、10 B、24 C、22 D、30

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7. 如图，已知三棱锥P—ABC的底面是以A为直角顶点，腰长为2的等腰三角形，且 $P A = 1$ ， E为P点在底面的投影，且 $B C ⊥ A E$ ， PA与底面所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则该三棱锥外接球的体积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{10}}{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{8}{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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8. 2022年是发现土星卫星和土星环缝的天文学家乔凡尼·卡西尼逝世310周年，卡西尼曾对把卵形线描绘成轨道有兴趣.卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线R方程为 $y^{2}$ $= \sqrt{4 x^{3} + 1} - x^{3} - 1$ ，其两焦点直角坐标系坐标为 $F_{1} (1 ， 0)$ 和 $F_{2} (- 1 ， 0)$ ，动点P是R上一点，则 $| P F_{1} | + | P F_{2} |$ 最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知圆 $C ： (x - a)^{2} + (y - a)^{2} = 1$ ，则（）

A、若圆C同时与两个坐标轴相切，则 $a = \pm 1$ B、圆心C在直线 $y = x$ 上 C、过原点O作圆C两条切线，若两条切线之间的夹角为 $6 0^{°}$ 时，则 $a = \sqrt{2}$ D、若 $a = \frac{1}{2}$ ，则 $x$ 轴截圆C的弦长为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为 $a_{1}$ ，第二次为 $a_{2}$ ，设 $A = [\frac{a_{1}}{a_{2}}]$ ，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（）

A、 $P (a_{1} + a_{2} = 5) = \frac{1}{4}$ B、事件 $a_{1} = 6$ 与 $A = 0$ 互斥 C、 $P (a_{1} > a_{2}) = \frac{5}{12}$ D、事件 $a_{2} = 1$ 与 $A = 0$ 对立

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11. 2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n个台阶的方法数为 $b_{n}$ ，则（）

A、 $b_{7} = 21$ B、 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{5} + b_{7} = 51$ C、 $b {}_{1}^{2}+ b_{2}^{2} + ⋯ + b_{n}^{2} = b_{n} \cdot b_{n + 1} - 1$ D、 $b_{n - 2} + b_{n + 2} = 3 b_{n}$

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12. 已知边长为2的正方体ABCD— $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ ， E为AD中点，F为 $A_{1} C_{1}$ 中点，则（）

A、EF与 $B D_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $V_{F - E C D} = \frac{2}{3}$ C、若平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $C C_{1} E$ 的交线为l，则直线l与BE所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、若D在平面 $A_{1} C_{1} B$ 内的投影为点O，则 $A O = 2$

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三、填空题

13. 若 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 3) ， \vec{b} = (2 ， m ， 3 m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 设抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，抛物线在（2，1）处的切线为l，则F到l的距离为.

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15. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左右焦点，l经过 $F_{2}$ 交双曲线右支于A，B两点，且 $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{A F_{2}} = 0 ， \vec{A F_{2}} = \frac{1}{3} \vec{F_{2} B}$ ，则b=.

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16. 引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强拼搏的体育竞技精神，某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为“传球训练赛”，即参赛的甲、乙、丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，则第6次传球，重新由乙同学传球的概率为.

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四、解答题

17. 已知直线 $l ： m x + y + 5 m = 0$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 9$ .

(1)、求圆心 $C$ 到 $l$ 距离的取值范围；

(2)、若 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，且 $P (- 5 ， 0)$ ，求 $| P A | \cdot | P B |$ 的值.

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18. 今年两会期间，国家对中小学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣，为了响应国家的号召并进一步提高学生的综合素质，某校开设了俯卧撑训练课，分别从该校的5000名学生中，利用分层抽样的方式抽取100名学生，统计在2分钟内所做俯卧撑个数的频率分布直方图，如下图所示.
（注；若某个学生在2分钟内可做俯卧撑个数大于等于30视为优秀，位于20—30之间视为合格，小于20视为不合格，假设不考虑不同年级不同性别学生之间的个体差异）

(1)、若该校高一，高二，高三的人数分别为1500，1500，2000，以频率为概率估计
①开设该训练课前高一学生中不合格的人数；
②开设该训练课后全校学生合格的人数；

(2)、若随机选取4名学生，其中包含1名女生，3名男生，再从这4名学生中挑选2名学生，请用列表法，求该女生被选中的概率.

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19. 在① $A D = D D_{1} = 2 A_{1} D_{1} = 2$ ；② $A D = 2 A_{1} D_{1}$ ，且直线 $D B_{1}$ 与平面ABCD所成角为 $\frac{π}{4}$ .这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并给予解答.
如图所示，四棱台ABCD $- A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上下底面均为正方形，且 $D D_{1}$ ⊥底面ABCD.

(1)、证明： $A C ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、若___________，求二面角 $A - B B_{1} - C$ 的正弦值.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 等差数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{3} = 14 ， a_{6} = 5$ ，其前n项和为 $S_{n}$ .

(1)、求数列{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、求 $| a_{1} | + | a_{2} | + ⋯ + | a_{10} |$ 的值.

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21. 已知点 $A (1 ， \frac{3}{2})$ 为椭圆C $： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 1} = 1$ 上的一点， $B (- 2 ， 0)$ .

(1)、求C的方程；

(2)、若直线l交C于M，N两点，连接BM，BN并延长，记直线BM，BN，l的斜率满足 $k_{M N} (k_{B M} + k_{B N}) + 3 = 0$ ，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，直线 $x = m (0 < m < 2)$ 与C交于M、N两点，直线A₁M和直线 $A_{2} N$ 交于点P.

(1)、求P点的轨迹方程；

(2)、求 $\frac{| P A_{1} | \cdot | P M |}{| P A_{2} | \cdot | P N |}$ 的取值范围.

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