河北省张家口市2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 4} ， B = {- 1 ， 0 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${- 1}$ C、 ${0 ， 2}$ D、 ${2}$

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2. “ $π^{a} > π^{b}$ ”是“ $a > b$ ”的一个（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知命题 $p$ ：“ $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $3 x^{2} + 3 = 3^{x}$ ”，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $3 {x_{0}}^{2} + 3 \neq 3^{x_{0}}$ B、 $\exists x_{0} \notin (0 ， + \infty)$ ， $3 {x_{0}}^{2} + 3 = 3^{x_{0}}$ C、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ， $3 x^{2} + 3 \neq 3^{x}$ D、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $3 {x_{0}}^{2} + 3 = 3^{x_{0}}$

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4. 函数 $f (x) = l o g_{2} (x - 1) - \frac{1}{x^{2}}$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 + 3 x ， - 3 \leq x < 1 \\ x^{2} - 3 x ， 1 \leq x \leq 3 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{3}{2})) =$ （）

A、 $- \frac{27}{4}$ B、 $- \frac{15}{4}$ C、 $- \frac{27}{16}$ D、 $- \frac{15}{16}$

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6. 设 $a = 0 . 3^{0.3} ， b = 0 . 4^{0.3} ， c = 0 . 3^{0.4}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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7. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 3 y = 1$ ，则 $\frac{x y}{3 x + y}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{20}$

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8. 已知方程 $x^{2} - 2 a x + 6 a + 7 = 0$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上有实数解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[7 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1] ∪ [7 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 7] ∪ [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{11}{2}] ∪ [7 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$

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10. 已知不等式 $3 a x^{2} + 2 a x + 1 > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = - 1$ ，则不等式的解集为 $(- 1 ， \frac{1}{3})$ B、若不等式的解集为 $(- 2 ， \frac{4}{3})$ ，则 $a = - \frac{1}{8}$ C、若不等式的解集为 $(x_{1} ， x_{2})$ ，则 $8^{x_{1}} \cdot 8^{x_{2}} = \frac{1}{4}$ D、若不等式恒成立，则 $a \in (0 ， 3)$

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11. 若函数 $f (x) = l g (x^{2} + a x - a)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 为偶函数 B、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则 $- 4 < a < 0$ C、若 $a = 1$ ，则 $f (x)$ 的单调增区间为 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ D、若 $f (x)$ 在 $(- 2 ， - 1)$ 上单调递减，则 $a < \frac{1}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l g x | ， 0 < x \leq 10 \\ 1 0^{- x} - 1 ， - 10 \leq x \leq 0 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 10)$ 上有两个零点 B、方程 $f (x) = t$ 在 $[0 ， 10)$ 有两个不等实根，则 $t \in (0 ， 1]$ C、方程 $f (x) = t$ 在 $(0 ， 10]$ 上的两个不等实根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} = 1$ D、方程 $f (x) = 1 0^{- | x |} + 1$ 共有两个实根

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三、填空题

13. 幂函数 $f (x)$ 的图象过点（4，2），则 $f (2) =$ .

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14. 函数 $y = l o g_{2} (2^{x} + 2)$ 的值域为.

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15. 不等式 $5 \times 2^{x} - 4^{x} > 4$ 的解集为.

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16. 若 $\forall x \in [\frac{3}{4} ， \frac{4}{3}]$ ，不等式 $4 x^{2} - (λ + 3) x + 1 \geq 0$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 ${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 2} + \sqrt[4]{{(- 2)}^{4}} - {(\frac{2022}{2021})}^{0}$ ；

(2)、 $l o g_{6} 5 \times l o g_{\frac{1}{10}} 100 \times (l o g_{5} 2 + l o g_{5} 3) + 5^{l o g_{5} 3}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} - 3 x + 1 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | a x^{2} - (4 a + 1) x + 4 > 0}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $a > \frac{1}{4}$ ，且满足 $A ⊆ B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 李华计划将10000元存入银行，恰巧银行最新推出两种存款理财方案.
方案一：年利率为单利（单利是指一笔资金无论存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息的计息方法），每年的存款利率为 $2.5 %$ ；
方案二：年利率为复利（复利是指在计息利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计息的计息方式，也即通常所说的“利生利”），每年的存款利率为 $2 %$ ；

(1)、如果李华想存款 $x$ （ $x \in N$ ）年，其所获得的利息为 $y$ 元，分别写出两种方案中， $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、李华最后决定存款10年，如果你是银行工作人员，请帮他合理选择一种投资方案，并告知原由.（参考数据： ${(1 + 2 %)}^{10} \approx 1.21899$ ， ${(1 + 2 %)}^{9} \approx 1.19509$ ）

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x - 2) + l o g_{a} (x - 4)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若 $a = 2$ ，且 $g (x) = f (x) - 3$ ，求函数 $g (x)$ 的零点；

(2)、当 $x \in (4 ， 6]$ 时， $f (x)$ 有最小值 $- 3$ ，求 $a$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = l n \frac{x + 1}{1 - x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明你的结论；

(2)、在 $f (x) > 0$ 的条件下，求函数 $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， 0 \leq x \leq 2 \\ | x - 6 | ， x > 2 \end{array}$ .

(1)、①作出函数 $f (x)$ 在 $[- 10 ， 10]$ 上的图象；
②若方程 $f (x) = a$ 恰有6个不相等的实根，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = l o g_{2} (x^{2} + 1) - {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，若 $\forall x_{1} \in R$ ， $\exists x_{2} \in [1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) + 3 a \geq g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的最小值.

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