河北省张家口市2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知两条直线 $l_{1} ： 5 x - 2 y + 1 = 0$ 和 $l_{2} ： a x + 3 y + 2 = 0$ 相互垂直，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{15}{2}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $- \frac{6}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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2. 若点 $(2 ， 4)$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，则抛物线的准线方程为（）

A、 $x = - 4$ B、 $x = - 2$ C、 $x = - 1$ D、 $y = - 4$

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3. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{50} + \frac{y^{2}}{30} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

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4. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 9 = 0$ 与圆 $C_{2} ： {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系为（）

A、相交 B、外切 C、外离 D、内含

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5. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3， $E ， F$ 分别在 $D B ， A B_{1}$ 上，且 $\vec{B E} = 2 \vec{E D} ， \vec{A F} = 2 \vec{F B_{1}}$ ，则 $| E F | =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6. 已知三角形数表：
现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、 $3^{7}$ B、 $3^{8}$ C、 $3^{9}$ D、 $3^{10}$

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7. 已知 $x + y = 0$ ，则 $\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 2} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + y^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{5} + a_{8} = - 3$ ， $a_{6} a_{7} = - 18$ ，则 $a_{2} + a_{11} =$ （）

A、3 B、 $- 9$ C、 $\frac{21}{2}$ D、 $- \frac{21}{2}$

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二、多选题

9. 下列选项正确的有（）

A、 $\frac{x - x_{0}}{y - y_{0}} = 2$ 表示过点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，且斜率为2的直线 B、 $\vec{a} = (2 ， 1)$ 是直线 $x - 2 y - 4 = 0$ 的一个方向向量 C、以 $A (4 ， 1)$ ， $B (1 ， - 2)$ 为直径的圆的方程为 $(x - 4) (x - 1) + (y - 1) (y + 2) = 0$ D、直线 $(m + 1) x + (2 m - 1) y - 1 - 4 m = 0 (m \in R)$ 恒过点 $(2 ， 1)$

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10. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{9} + a_{10} + a_{11} > 0$ ， $a_{9} + a_{12} < 0$ ，则下列选项正确的有（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列 B、当 $n = 10$ 时， $S_{n}$ 最大 C、 $S_{19} \cdot S_{20} < 0$ D、 $S_{20} \cdot S_{21} < 0$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{4}$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上的动点， $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $14$ ，则下列选项正确的有（）

A、椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ B、 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | \leq 16$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 内切圆的面积 $S$ 的最大值为 $π$ D、 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} \geq - \frac{1}{8}$

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12. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 \sqrt{2} ， A B = A D = 2$ ， $M$ 为棱 $D C$ 的中点，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1] ， μ \in [0 ， 1]$ ，则下列结论正确的有（）

A、当 $λ = \frac{1}{2} ， μ = \frac{1}{2}$ 时，异面直线 $A P$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{7}}{14}$ B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时， $A P ⊥ D_{1} C$ C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A P ⊥ D_{1} P$ D、当 $λ = 1$ 时，存在点 $P$ ，使得 $A P ⊥ M C_{1}$

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三、填空题

13. 已知空间向量 $\vec{a} = (3 ， 2 ， λ) ， \vec{b} = (λ - 2 ， λ ， 8)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} · \vec{b} =$ ．

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14. 已知点 $F$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，过点 $F$ 作倾斜角为60°的直线 $l$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 有唯一交点 $P$ ，且 $| F P | = 6$ ，则双曲线 $C$ 的方程为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} = \frac{1}{n^{2} + 3 n + 2} (n \geq 2)$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} < λ$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为．

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16. 过点 $P (2 ， - 1)$ 作圆 $E ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 1 = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则直线 $A B$ 的方程为．

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四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{8} = 6 ， S_{21} = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前50项和 $T_{50}$ ．

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18. 已知直线 $l ： y = k x - 1$ 与圆 $E ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ 交于 $A ， B$ 两点．

(1)、当 $| A B |$ 最大时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $D (0 ， - 1)$ ，证明： $\vec{D A} \cdot \vec{D B}$ 为定值．

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19. “十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用，下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．

(1)、求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）．

(2)、已知直线 $m$ 是抛物线的对称轴， $Q$ 为直线 $m$ 与水面的交点， $P$ 为抛物线上一点， $O ， F$ 分别为抛物线的顶点和焦点．若 $P F ⊥ m$ ， $P O ⊥ P Q$ ，求桥面与水面的距离．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 2 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ， $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${n b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $4$ 的正方形，平面 $A D P ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{7}$ ．

(1)、求证： $A P ⊥$ 平面 $C D P$ ；

(2)、若点 $E$ 在线段 $A C$ 上，直线 $P E$ 与直线 $D C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求平面 $P D E$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值．

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22. 已知一动圆与圆 $E ： {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 18$ 外切，与圆 $F ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 2$ 内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程．

(2)、已知点 $P$ 在曲线 $C$ 上，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（异于点 $P$ ）．记直线 $P A$ 和直线 $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
① $P (4 ， 1)$ ；② $k_{1} + k_{2} = 0$ ；③ $k = - \frac{1}{2}$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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