北京市西城区2023届高三上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {x \in Z | x^{2} \leq 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 2 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 3}$

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2. 设复数 $z = 3 - i$ ，则复数 $i \cdot z$ 在复平面内对应的点的坐标是（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(3 ， 1)$ D、 $(3 ， - 1)$

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3. 已知函数 $f (x) = l g | x |$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 B、是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数 C、是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 D、是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数

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4. 已知双曲线 $C ： 3 x^{2} - y^{2} = 3$ ，则C的焦点到其渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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5. 设 $x ， y \in R$ ，且 $0 < x < y < 1$ ，则（）

A、 $x^{2} > y^{2}$ B、 $t a n x > t a n y$ C、 $4^{x} > 2^{y}$ D、 $x + \frac{1}{x} > y (2 - y)$

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6. 在 $△ A B C$ 中，若 $c = 4 ， b - a = 1 ， c o s C = - \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$

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7. “空气质量指数（ $A Q I$ ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当 $A Q I$ 大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数 $y$ 随时间 $t$ 变化的趋势由函数 $y = {\begin{array}{l} - 10 t + 290 ， 0 \leq t \leq 12 \\ 56 \sqrt{t} - 24 ， 12 < t \leq 24 \end{array}$ 描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）

A、5小时 B、6小时 C、7小时 D、8小时

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8. 设 $α$ ， $β$ 均为锐角，则“ $α > 2 β$ ”是“ $s i n (α - β) > s i n β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 1 ， ∠ C = 90 °$ ． P为 $A B$ 边上的动点，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{4} ， 1]$ B、 $[- \frac{1}{8} ， 1]$ C、 $[- \frac{1}{4} ， 2]$ D、 $[- \frac{1}{8} ， 2]$

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C D E F$ 所在的平面互相垂直． $Ω_{1}$ 是正方形 $A B C D$ 及其内部的点构成的集合， $Ω_{2}$ 是正方形 $C D E F$ 及其内部的点构成的集合．设 $A B = 1$ ，给出下列三个结论：
① $\exists M \in Ω_{1} ， \exists N \in Ω_{2}$ ，使 $M N = 2$ ；
② $\exists M \in Ω_{1} ， \exists N \in Ω_{2}$ ，使 $E M ⊥ B N$ ；
③ $\exists M \in Ω_{1} ， \exists N \in Ω_{2}$ ，使 $E M$ 与 $B N$ 所成的角为 $60 °$ ．
其中所有正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中的常数项为.（用数字作答）

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12. 设抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为.

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13. 人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”： $f (t) = \frac{K x_{0}}{x_{0} - (x_{0} - K) e^{- \frac{r_{0}}{K} t}} (t \geq 0)$ ，其中 $K ， r_{0} ， x_{0}$ 均为正常数，且 $K > x_{0}$ ，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论：
① $f (0) = x_{0}$ ；
② $f (t)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是增函数；
③ $\forall t \in [0 ， + \infty) ， f (t) < K$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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14. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = 5$ ，且 $a_{2} + 2 ， a_{3} + 4 ， a_{4} + 6$ 成等比数列，则 $a_{6} =$ ； ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ ．

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + a ， x \leq 1 \\ - a {(x - 2)}^{2} + 1 ， x > 1 \end{array}$ 若 $a = 2$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间是；若 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， + \infty)$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x (c o s^{2} \frac{x}{2} - s i n^{2} \frac{x}{2}) - \sqrt{3} c o s 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $x \in (0 ， π)$ ，且 $f (x) > - 1$ ，求x的取值范围．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B ∥ C D$ ，四边形 $A D E F$ 为平行四边形．

(1)、求证： $C E$ ∥平面 $A B F$ ；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $A D E F ， A F ⊥ A D ， A F = A D = C D = 1 ， A B = 2$ ，求：
（ⅰ）直线 $A B$ 与平面 $B C F$ 所成角的正弦值；
（ⅱ）点D到平面 $B C F$ 的距离．

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18. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：

12月
1月
2月
3月
4月
5月
轿车
28.4
21.3
15.4
26.0
16.7
21.0
MPV
0.8
0.2
0.2
0.3
0.4
0.4
SUV
18.1
13.7
11.7
18.1
11.3
14.5

(1)、从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月 $M P V$ 零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；

(2)、从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中 $S U V$ 的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望 $E X$ ；

(3)、记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为 $s_{1}^{2}$ ，同期各月轿车与对应的 $M P V$ 月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为 $s_{2}^{2}$ ，写出 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系．（结论不要求证明）

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19. 如图，已知椭圆 $E ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F_{1} (0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过点 $F_{1}$ 作斜率为k的直线交椭圆E于两点A，B， $A B$ 的中点为M．设O为原点，射线 $O M$ 交椭圆E于点C．当 $△ A B C$ 与 $△ A B O$ 的面积相等时，求k的值．

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20. 已知函数 $f (x) = a l n x + x e^{x} - e$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数，并加以证明；

(3)、当 $a < 0$ 时，证明：存在实数m，使 $f (x) \geq m$ 恒成立．

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21. 已知 $A_{n} ： a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n} (n \geq 4)$ 为有穷数列．若对任意的 $i \in {0 ， 1 ， ⋯ ， n - 1}$ ，都有 $| a_{i + 1} - a_{i} | \leq 1$ （规定 $a_{0} = a_{n}$ ），则称 $A_{n}$ 具有性质 $P$ ．设 $T_{n} = {(i ， j) | | a_{i} - a_{j} | \leq 1 ， 2 \leq j - i \leq n - 2 (i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)}$ ．

(1)、判断数列 $A_{4} ： 1 ， 0.1 ， - 1.2 ， - 0.5 ， A_{5} ： 1 ， 2 ， 2.5 ， 1.5 ， 2$ 是否具有性质 $P$ ？若具有性质 $P$ ，写出对应的集合 $T_{n}$ ；

(2)、若 $A_{4}$ 具有性质 $P$ ，证明： $T_{4} \neq \emptyset$ ；

(3)、给定正整数 $n$ ，对所有具有性质 $P$ 的数列 $A_{n}$ ，求 $T_{n}$ 中元素个数的最小值．

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	12月	1月	2月	3月	4月	5月
轿车	28.4	21.3	15.4	26.0	16.7	21.0
MPV	0.8	0.2	0.2	0.3	0.4	0.4
SUV	18.1	13.7	11.7	18.1	11.3	14.5