北京市西城区2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + y - \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角等于（）

A、 $4 5^{∘}$ B、 $9 0^{∘}$ C、 $12 0^{∘}$ D、 $13 5^{∘}$

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2. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线方程为（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $y = 1$ D、 $y = - 1$

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3. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A (1 ， 3 ， 0) ， B (0 ， 3 ， - 1)$ ，则（）

A、直线 $A B$ $∥$ 坐标平面 $x O y$ B、直线 $A B ⊥$ 坐标平面 $x O y$ C、直线 $A B$ $∥$ 坐标平面 $x O z$ D、直线 $A B ⊥$ 坐标平面 $x O z$

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4. 在 $(2 x + 1)^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、6 B、12 C、24 D、36

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5. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 ， B C = 2 ， A A_{1} = 1$ ，则二面角 $D_{1} - B C - D$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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6. 若直线 $3 x + 4 y + m = 0$ 与圆 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ 相离，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， - 8) \cup (2 ， + ∞)$ B、 $(- ∞ ， - 2) \cup (8 ， + ∞)$ C、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$ D、 $(- ∞ ， - 8) \cup (8 ， + ∞)$

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7. 2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（）

A、 $A_{3}^{3}$ 种 B、 $2 A_{3}^{3}$ 种 C、 $A_{5}^{5} - A_{3}^{3}$ 种 D、 $A_{5}^{3}$ 种

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8. 设 $a \in R$ ，则“ $a = 1$ ”是“直线 $l_{1} ： a x + 2 y = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行”的( ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在 $l$ 处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面 $2 m$ ，水面宽 $6 m$ ，那么当水位上升 $1 m$ 时，水面宽度为（）

A、 $3 \sqrt{3} m$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} m$ C、 $4 \sqrt{2} m$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} m$

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10. 设点 $A (1 ， 0)$ ， $N (- 2 ， 3)$ ，直线 $l ： x + a y + 2 a - 1 = 0$ ， $A M ⊥ l$ 于点 $M$ ，则 $| M N |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{34}$ B、6 C、4 D、 $3 \sqrt{2} + 1$

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二、填空题

11. 设 $A (- 3 ， 2) ， B (1 ， - 4)$ ，则过线段 $A B$ 的中点，且与 $A B$ 垂直的直线方程为.

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12. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为．

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13. 设 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A$ 在抛物线 $C$ 上，点 $B (3 ， 0)$ ，且 $| A F | = | B F |$ ，则 $| A B | =$ .

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14. 记双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为e，写出满足条件“直线 $y = 2 x$ 与C无公共点”的e的一个值．

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15. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 是正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 内部（含边界）的一个动点，且 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} B E$ .给出下列四个结论：
①动点 $F$ 的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点 $F$ ，使得 $B_{1} F ⊥ A_{1} B$ ；
③三棱锥 $B_{1} - D_{1} E F$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3}$ ；
④设直线 $B_{1} F$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成角为 $θ$ ，则 $t a n θ$ 的取值范围是 $[2 ， 2 \sqrt{2}]$ .
其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.

(1)、共有多少种不同的选择方法？

(2)、若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $E$ 为线段 $A B$ 的中点， $P A = A B = 2$ .

(1)、求证： $B C ⊥ P E$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P B D$ 夹角的余弦值.

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18. 在平面直角坐标系中， $A (- 1 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，曲线 $C$ 是由满足直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积等于定值 $λ (λ \in R)$ 的点 $P$ 组成的集合.

(1)、若曲线 $C$ 是一个圆（或圆的一部分），求 $λ$ 的值；

(2)、若曲线 $C$ 是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率 $e \geq \sqrt{2}$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (\sqrt{3} ， 0)$ ，其长轴长是短轴长的2倍.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、记斜率为1且过点 $F$ 的直线为 $l$ ，判断椭圆 $C$ 上是否存在关于直线 $l$ 对称的两点 $A ， B$ ？若存在，求直线 $A B$ 的方程；若不存在，说明理由.

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20. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D ， A B ∥ C D ， A D = C D = 1$ ， $A A_{1} = A B = 2 ， E$ 为线段 $A A_{1}$ 的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①： $A D ⊥ B E$ ；条件②： $B C = \sqrt{2}$ .

(1)、求直线 $C E$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求点 $C_{1}$ 到平面 $B C E$ 的距离；

(3)、已知点 $M$ 在线段 $C C_{1}$ 上，直线 $E M$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求线段 $C M$ 的长.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{t + 1} + \frac{y^{2}}{6 - t} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上，且离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求实数 $t$ 的值；

(2)、若过点 $P (m ， n)$ 可作两条互相垂直的直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且 $l_{1} ， l_{2}$ 均与椭圆 $C$ 相切.证明：动点 $P$ 组成的集合是一个圆.

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