北京市通州区2022-2023学年高一上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. $s i n 120 °$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 设 $S = {α ∣ α = k π + \frac{π}{2} ， k \in Z} ， S_{1} = {α ∣ α = 2 k π + \frac{π}{2} ， k \in Z} ， S_{2} = {α ∣ α = 2 k π - \frac{π}{2} ， k \in Z}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $S_{1} \subseteq S$ B、 $S_{2} \subseteq S$ C、 $S_{1} \cup S_{2} = S$ D、 $S_{1} \cap S_{2} = S$

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3. 已知角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点 $P (- \frac{\sqrt{5}}{5} ， m)$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4. 下列函数中，是奇函数且在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = s i n x$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = c o s x$ D、 $y = l n x$

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5. 将函数 $y = s i n x$ 的图像 $C$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线 $C_{1}$ ，然后再使曲线 $C_{1}$ 上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{3}$ 得到曲线 $C_{2}$ ，最后再把曲线 $C_{2}$ 上各点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线 $C_{3}$ ，则曲线 $C_{3}$ 对应的函数是（）

A、 $y = 2 s i n (3 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 s i n 3 (x - \frac{π}{6})$ C、 $y = 2 s i n (3 x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 s i n 3 (x + \frac{π}{6})$

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6. “ $t a n α > 0$ ”是“角 $α$ 是第一象限的角”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 函数 $y = l o g_{0.5} x$ 与 $y = l o g_{2} x$ 的图象（）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于原点对称 D、关于直线 $y = x$ 对称

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8. 函数 $f (x) = l n x + 2 x - 6$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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9. 已知 $a = {(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{2}} ， b = {(\frac{3}{2})}^{\frac{2}{3}} ， c = l o g_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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10. 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔1min测一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间/min
0
1
2
3
4
5
茶水温度/℃
85.00
79.00
73.60
68.74
64.37
60.43
为了描述茶水温度 $y ℃$ 与放置时间 $x m i n$ 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
① $y = k a^{x} + 25 (k \in R ， 0 < a < 1 ， x \geq 0)$ ， ② $y = k x + b (k ， b \in R ， x \geq 0)$ ．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（）
（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477$ ）

A、6min B、6.5min C、7min D、7.5min

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二、填空题

11. 半径为1，圆心角为1弧度的扇形的面积为．

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12. 计算： $l o g_{2} s i n \frac{π}{12} + l o g_{2} c o s \frac{π}{12} =$ ．

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13. 若函数 $y = A s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， 0 \leq φ < π)$ 的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．

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14. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3 ， x \leq 0 \\ - 2 + l n x ， x > 0 \end{array}$ ，方程 $f (x) = k$ 有3个实数解，则k的取值范围为.

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15. 已知 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $x + y$ 的最大值为，最小值为．

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三、解答题

16. 已知 $t a n α = - \frac{3}{4} ， α$ 是第四象限角．

(1)、求 $c o s α - s i n α$ 的值；

(2)、求 $c o s (\frac{π}{4} + α) ， t a n (α + \frac{π}{4})$ 的值．

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17. 已知函数 $f (x) = t a n (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域，最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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18. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、从下面四个条件中选择两个作为已知，求 $f (x)$ 的解析式，并求其在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 上的最大值和最小值．
条件①： $f (x)$ 的值域是 $[- 2 ， 2]$ ；
条件②： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增；
条件③： $f (x)$ 的图象经过点 $(0 ， 1)$ ；
条件④： $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．

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19. 已知函数 $f (x) = l n (1 - c o s 2 x) + c o s (x + θ) ， θ \in [0 ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求 $θ$ 的值；

(3)、是否存在 $θ$ ，使得函数 $f (x)$ 是奇函数？若存在，求出 $θ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20. 某一扇形铁皮，半径长为1，圆心角为 $\frac{π}{4}$ ．工人师傅想从中剪下一个矩形 $A B C D$ ，如图所示．

(1)、若矩形 $A B C D$ 为正方形，求正方形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求矩形 $A B C D$ 面积的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = l g (a x + 3)$ 的零点是 $x = 2$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并说明理由；

(3)、设 $k > 0$ ，若不等式 $2 f (x) > l g (k x^{2})$ 在区间 $[- 4 ， - 3]$ 上有解，求 $k$ 的取值范围．

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放置时间/min	0	1	2	3	4	5
茶水温度/℃	85.00	79.00	73.60	68.74	64.37	60.43