北京市顺义区2022-2023学年高二上学期数学期末质量监测试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列直线中，斜率为1的是（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $x - 1 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $x - \sqrt{2} y - 1 = 0$

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2. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（）

A、0.56 B、0.14 C、0.24 D、0.94

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3. 若直线 $x - a y = 0$ 与直线 $2 x + y - 1 = 0$ 的交点为 $(1 ， y_{0})$ ，则实数a的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ ，则圆C的圆心和半径为（）

A、圆心 $(0 ， 2)$ ，半径 $r = 1$ B、圆心 $(2 ， 0)$ ，半径 $r = 1$ C、圆心 $(0 ， 2)$ ，半径 $r = 2$ D、圆心 $(2 ， 0)$ ，半径 $r = 2$

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5. 农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下（单位： $c m$ ）：
甲：9，10，10，11，12，20；
乙：8，10，12，13，14，21．
根据上述数据，下面四个结论中，正确的结论是（）

A、甲种麦苗样本株高的极差大于乙种麦苗样本株高的极差 B、甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值 C、甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数 D、甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差

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6. 抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设 $A =$ “两个点数之和等于8”， $B =$ “至少有一颗骰子的点数为5”，则事件 $A \cup B$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{7}{18}$ D、 $\frac{4}{9}$

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7. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线为 $y = \sqrt{3} x$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 空间直角坐标系中，点 $P (1 ， 2 ， 3)$ 关于平面 $x O z$ 对称的点的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 2 ， 3)$ B、 $(1 ， - 2 ， 3)$ C、 $(1 ， 2 ， - 3)$ D、 $(- 1 ， - 2 ， - 3)$

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9. 已知椭圆C的焦点为 $F_{1} (0 ， - 2)$ ， $F_{2} (0 ， 2)$ ．过点 $F_{2}$ 的直线与C交于A，B两点．若 $△ A B F_{1}$ 的周长为12，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{36} + \frac{x^{2}}{32} = 1$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为 $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，P是底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 上一点．若 $A P$ ∥平面 $B E F$ ，下列说法正确的是（）

A、线段 $A P$ 长度最大值为 $\sqrt{5}$ ，无最小值 B、线段 $A P$ 长度最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，无最大值 C、线段 $A P$ 长度最大值为 $\sqrt{5}$ ，最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、线段 $A P$ 长度无最大值，无最小值

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二、填空题

11. 某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人．为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为．

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12. 若圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} ： (x - 3) + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 外切，则 $r =$ .

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13. 如图，在四面体 $O - A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， D为 $B C$ 的中点，E为 $A D$ 的中点，若 $\vec{O E} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，其中x，y， $z \in R$ ，则 $x =$ ， $y =$ ， $z =$ ．

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14. 已知点M在抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上，F是抛物线的焦点，直线 $F M$ 交x轴于点N，若M为线段 $F N$ 的中点，则焦点F坐标是， $| F N | =$ ．

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15. 现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于 $2 π$ 减去该点处所有面角之和（多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角），一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是 $\frac{π}{2}$ ，所以正方体在各顶点处的曲率为 $2 π - \frac{π}{2} \times 3 = \frac{π}{2}$ ．按照以上约定，四棱锥的总曲率为；若正十二面体（图1）和正二十面体（图2）的总曲率分别为 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ ，则 $θ_{1} - θ_{2}$ 0（填“>”，“<”或者“=”）．

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三、解答题

16. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图．
组号
分组
频数
1
$[0 ， 2)$
c
2
$[2 ， 4)$
8
3
$[4 ， 6)$
17
4
$[6 ， 8)$
22
5
$[8 ， 10)$
25
6
$[10 ， 12)$
12
7
$[12 ， 14)$
6
8
$[14 ， 16)$
2
9
$[16 ， 18)$
2
合计
100

(1)、求频数分布表中c的值及频率分布直方图中a，b的值；

(2)、从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，求2人恰好在同一个数据分组的概率．

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C C_{1} = C B = 2$ ，且 $A C ⊥ C B$ ， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， E为 $A B$ 中点．

(1)、求证： $B C ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C E$

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18. 已知直线l： $2 x - y + 4 = 0$ 与x轴的交点为A，圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 经过点A．

(1)、求r的值；

(2)、若点B为圆O上一点，且直线 $A B$ 垂直于直线l，求弦长 $| A B |$ ．

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = 3$ ， $A D = A A_{1} = 2$ ，点E在 $A B$ 上，且 $A E = 1$ ．

(1)、求直线 $A_{1} E$ 与直线 $B C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C$ 所成角的正弦值；

(3)、求点A到平面 $A_{1} E C$ 的距离

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的焦点在x轴上，且经过点 $E (2 ， \sqrt{2})$ ，左顶点为D，右焦点为F．

(1)、求椭圆C的离心率和 $△ D E F$ 的面积；

(2)、已知直线 $y = k x + 1$ 与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线 $y = 4$ 的垂线，垂足为G．判断直线 $A G$ 是否与y轴交于定点？请说明理由．

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21. 对于正整数集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 3$ ），如果去掉其中任意一个元素 $a_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．

(1)、判断集合 $B = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ 是否为平衡集，并说明理由；

(2)、若集合A是平衡集，并且 $a_{i}$ 为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；

(3)、若集合A是平衡集，并且 $a_{i}$ 为奇数，求证：集合A中元素个数 $n \geq 7$ ．

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