北京市海淀区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x > 0} ， B = {x ∣ - 1 < x < 2}$ ，若 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ x < 2}$ B、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ C、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ D、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$

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2. 下列函数中，是奇函数且在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = x^{3}$

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3. 某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取100人进行问卷调查.已知高一年级有270名男生，从男生中抽取了60名，则该校高一年级共有学生（）

A、445人 B、450人 C、520人 D、540人

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4. 下列结论正确的是（）

A、若 $a > b ， c < 0$ ，则 $a + c < b + c$ B、若 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ ，则 $a < b$ C、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$

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5. 某班分成了A､B､C､D四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则 $A$ 组和 $B$ 组恰有一个组被抽到的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 已知 $a = 4^{0.1} ， b = 2^{0.6} ， c = l o g_{4} 0.6$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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7. 甲､乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示：
①甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的成绩比乙同学稳定；
④甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差.
上面说法正确的是（）

A、①③ B、①④ C、②④ D、②③

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8. 已知 $f (x) = l o g_{\frac{1}{4}} x$ ，则不等式 $f (x) \geq - \frac{4}{3} (x - 1)$ 的解集为（）

A、 $(- ∞ ， \frac{1}{4}] \cup [1 ， + ∞)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2} ， + ∞)$ D、 $(0 ， \frac{1}{4}] \cup [1 ， + ∞)$

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9. 函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的图像是连续不断的，则“ $f (1) f (2) \geq 0$ ”是“函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上没有零点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 已知 $f (x) = x^{2} - 2 x$ .若对于 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [m ， m + 1]$ ，均有 $f (x_{1} + 1) \geq f (x_{2})$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = l n (1 - x)$ 的定义域是.

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12. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x + m^{2} - 6 = 0$ 的两个实根，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - 1$ ，则 $m =$ .

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13. 请阅读以下材料，并回答后面的问题：
材料1：人体成分主要由骨骼､肌肉､脂肪等组织及内脏组成，肌肉是最大的组织，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在体重中占比个体差异较大，脂肪占体重的百分比（称为体脂率，记为 $F %$ ）经常作为反映肥胖程度的一个重要指标，但是不易于测量.
材料2：体重指数BMI（BodyMassIndex的缩写）计算公式为：体重指数BMI $= \frac{G}{h^{2}} (G$ 为体重，单位：千克； $h$ 为身高，单位：米），是衡量人体整体胖瘦程度的一个简单易得的重要指标.1997年，世界卫生组织经过大范围的调查研究后公布：BMI值在 $18.5 \sim 24.9$ 为正常； $B M I \geq 25$ 为超重； $B M I \geq 30$ 为肥胖.由于亚洲人与欧美人的体质有较大差异，国际肥胖特别工作组经调查研究后，于2000年提出了亚洲成年人BMI值在 $18.5 \sim 22.9$ 为正常.中国肥胖问题工作组基于中国人体质特征，于2003年提出中国成年人BMI值在 $18.5 \sim 23.9$ 为正常； $B M I \geq 24$ 为超重； $B M I \geq 28$ 为肥胖. 30岁的小智在今年的体检报告中，发现体质指数BMI值为 $24.8$ ，依照标准属于超重.因为小智平时还是很注意体育锻炼的，正常作息，且每周去健身房有大约2小时的健身运动，周末还经常会和朋友去打篮球，所以小智对自己超重感觉很困惑.
请你结合上述材料，从数学模型的视角，帮小智做一下分析（包括：是否需要担心？为什么？）：.

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14. $3^{0} + 8^{\frac{2}{3}} =$ ， $l g 6 - l g (\frac{3}{5}) + l n e^{2} =$ .

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15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x < 0 \\ x^{2} - a x ， x \geq 0 \end{array}$ ，当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 的单调减区间为；若 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 已知集合 $A = {x ∣ | x - 1 | < 2} ， B = {x ∣ m < x < 2 m + 3}$

(1)、求集合 $A$ 中的所有整数；

(2)、若 $(∁_{R} A) ∩ B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 高考英语考试分为两部分，一部分为听说考试，满分50分，一部分为英语笔试，满分100分.英语听说考试共进行两次，若两次都参加，则取两次考试的最高成绩作为听说考试的最终得分，如果第一次考试取得满分，就不再参加第二次考试.为备考英语听说考试，李明每周都进行英语听说模拟考试训练，下表是他在第一次听说考试前的20次英语听说模拟考试成绩.
假设：①模拟考试和高考难度相当；②高考的两次听说考试难度相当；③若李明在第一次考试未取得满分后能持续保持听说训练，到第二次考试时，听说考试取得满分的概率可以达到 $\frac{1}{2}$ .
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(1)、设事件 $A$ 为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件 $A$ 的概率；

(2)、基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值.

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18. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \frac{a^{x} - a^{- x}}{a^{x} + a^{- x}} + b$ 在R上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个.
①函数 $f (x)$ 为奇函数；② $f (1) = - \frac{3}{5}$ ；③ $f (- 1) = - \frac{3}{5}$ .

(1)、从中选择的两个条件的序号为，依所选择的条件求得 $b =$ ， $a =$ ；

(2)、利用单调性定义证明函数 $g (t) = \frac{2}{t} - t$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减；

(3)、在（1）的情况下，若方程 $f (x) = m + 4^{x}$ 在 $[0 ， 1]$ 上有且只有一个实根，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $M$ ，且区间 $I \subseteq M$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in I$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，记 $Δ x = x_{2} - x_{1}$ ， $Δ y = f (x_{2}) - f (x_{1})$ .若 $Δ y + Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $A$ ；若 $Δ y - Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $B$ ；若 $Δ y \cdot Δ x > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $C$ ；若 $\frac{Δ y}{Δ x} > 0$ ，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $D$ .

(1)、记：①充分而不必要条件；
②必要而不充分条件；

③充要条件；

④既不充分也不必要条件

则 $f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $A$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；

$f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $B$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；

$f (x)$ 在 $I$ 上具有性质 $C$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上单调递增的（填正确选项的序号）；

(2)、若 $f (x) = a x^{2} + 1$ 在 $[1 ， + \infty)$ 满足性质 $B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = \frac{1}{| x |}$ 在区间 $[m ， n]$ 上恰满足性质 $A$ ､性质 $B$ ､性质 $C$ ､性质 $D$ 中的一个，直接写出实数 $m$ 的最小值.

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