北京市海淀区2023届高三上学期期末练习数学试题

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2 ， 3]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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2. 在复平面内，复数 $\frac{1}{2 - i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{x} - 1$ ，在下列区间中，包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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4. 已知 $a = l g 5 ， b = s i n \frac{π}{7} ， c = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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5. 若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 a y + a^{2} = 0$ 截直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 所得弦长为 $2$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} = 3$ ， $a_{4} + a_{6} = - 10$ .若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ ，记 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $- 32$ B、 $- 80$ C、 $- 192$ D、 $- 224$

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7. 某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲､乙两组，每组3个班，则高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 设 $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，直线 $m \subset α$ ，则“对 $β$ 内的任意直线 $l$ ，都有 $m ⊥ l$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x$ 在区间 $[t ， t + \frac{π}{3}] (t \in R)$ 上的最大值为 $M (t)$ ，则 $M (t)$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为 $4 5^{∘}$ 的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为 $T$ ，截口椭圆的离心率为 $e$ .若圆柱的底面直径为2，则（）

A、 $T = 2 π ， e = \frac{1}{2}$ B、 $T = 2 π ， e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $T = 4 π ， e = \frac{1}{2}$ D、 $T = 4 π ， e = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

11. 抛物线y²=2x的焦点坐标为．

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12. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为.

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13. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 是棱 $B B_{1}$ 上一点， $A B = A A_{1} = 2$ ，则三棱锥 $P - A C C_{1}$ 的体积为.

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2 t$ ， $g (x) = e^{x} - t$ .给出下列四个结论：
①当 $t = 0$ 时，函数 $y = f (x) g (x)$ 有最小值；
② $\exists t \in R$ ，使得函数 $y = f (x) g (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增；
③ $\exists t \in R$ ，使得函数 $y = f (x) + g (x)$ 没有最小值；
④ $\exists t \in R$ ，使得方程 $f (x) + g (x) = 0$ 有两个根且两根之和小于 $2$ .
其中所有正确结论的序号是.

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15. 设 $O$ 为原点，双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 的右支上.则 $C$ 的渐近线方程是； $\frac{\vec{O P} \cdot \vec{O F}}{| \vec{O P} |}$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ .用五点法画 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12} ， \frac{11 π}{12}]$ 上的图象时，取点列表如下：
$x$
$- \frac{π}{12}$
$\frac{π}{6}$
$\frac{5 π}{12}$
$\frac{2 π}{3}$
$\frac{11 π}{12}$
$f (x)$
0
1
0
$- 1$
0

(1)、直接写出 $f (x)$ 的解析式及其单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $f (B) = \frac{1}{2} ， b = 2 \sqrt{3} ， a + c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D ， A D ⊥ D C ， A B ∥ D C ， A B = \frac{1}{2} D C ， P D = A D = 1$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M$ $/ /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 $P - D M - B$ 的余弦值.
条件①： $P B = \sqrt{3}$ ；条件②： $B D ⊥ B C$ .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

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18. $H$ 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.
明年冬小麦统一收购价格（单位：元 $/ k g$ ）
$2.4$
$3$
概率
$0.4$
$0.6$
表1
假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.

(1)、试估计 $H$ 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 $1500$ 元的概率；

(2)、设 $H$ 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、 $H$ 地区农科所研究发现，若每亩多投入 $125$ 元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加 $50 k g$ .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = x l n (x + 1)$ .

(1)、判断0是否为 $f (x)$ 的极小值点，并说明理由；

(2)、证明： $\frac{f (x)}{x^{2}} > - \frac{1}{2} x + 1$ .

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $P (- 2 ， 1)$ 和 $Q (2 \sqrt{2} ， 0)$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $G (0 ， 2)$ 作直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于不同的两点 $A ， B$ ，直线 $P A$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，直线 $P B$ 交 $y$ 轴于点 $N$ .若 $| G M | \cdot | G N | = 2$ ，求直线 $l$ 的方程.

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21. 对于一个有穷正整数数列 $Q$ ，设其各项为 $a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}$ ，各项和为 $S (Q)$ ，集合 ${(i ， j) ∣ a_{i} > a_{j} ， 1 \leq i < j \leq n}$ 中元素的个数为 $T (Q)$ .

(1)、写出所有满足 $S (Q) = 4 ， T (Q) = 1$ 的数列 $Q$ ；

(2)、对所有满足 $T (Q) = 6$ 的数列 $Q$ ，求 $S (Q)$ 的最小值；

(3)、对所有满足 $S (Q) = 2023$ 的数列 $Q$ ，求 $T (Q)$ 的最大值.

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$x$	$- \frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5 π}{12}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{11 π}{12}$
$f (x)$	0	1	0	$- 1$	0

明年冬小麦统一收购价格（单位：元 $/ k g$ ）	$2.4$	$3$
概率	$0.4$	$0.6$