北京市东城区2022-2023学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (8 ， - 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 1 ， k)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，那么实数 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $2$

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2. 已知直线 $x - y - \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角为（）度

A、45 B、135 C、60 D、90

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3. 抛物线 $y^{2} = - 2 x$ 的准线方程是（）

A、 $y = \frac{1}{2}$ B、 $y = - 1$ C、 $x = \frac{1}{2}$ D、 $x = 1$

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4. 2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”（英文为：“Together for a Shared Future”），这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待.“一起向未来”的英文表达是：“Together for a Shared Future”，其字母出现频数统计如下表：
字母
t
o
g
e
h
r
f
a
s
d
u
频数
3
2
1
4
2
4
2
2
1
1
2
合计频数为24，那么字母“ $e$ ”出现的频率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 3$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 2^{n}$ ，那么 $a_{3} =$ （）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $7$ D、 $9$

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6. 已知在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，那么直线 $A_{1} C$ 与平面 $A A_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{35}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7. 如图，点 $O$ 是正方形 $A B C D$ 两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点 $O$ 对称的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 圆心为 $(- 1 ， 2)$ ，半径 $r = 3$ 的圆的标准方程为（　　）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 3$

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9. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的高为4，棱 $A B$ 的长为2，点 $H$ 为侧棱 $P C$ 上一动点，那么 $△ H B D$ 面积的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为 $x$ ，第二次得到的点数记为 $y$ ，那么事件“ $2^{x + y} \leq 16$ ”的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{5}{36}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台 $A$ 站和 $B$ 站相距 $10 k m$ .根据它们收到的信息，可知震中到 $B$ 站与震中到 $A$ 站的距离之差为 $6 k m$ .据此可以判断，震中到地震台 $B$ 站的距离至少为（）

A、 $8 k m$ B、 $6 k m$ C、 $4 k m$ D、 $2 k m$

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12. 对于数列 ${a_{n}}$ ，若存在正数 $M$ ，使得对一切正整数 $n$ ，都有 $| a_{n} | \leq M$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 是有界的.若这样的正数 $M$ 不存在，则称数列 ${a_{n}}$ 是无界的.记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $a_{n} = \frac{1}{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是无界的 B、若 $a_{n} = n s i n n$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是有界的 C、若 $a_{n} = {(- 1)}^{n}$ ，则数列 ${S_{n}}$ 是有界的 D、若 $a_{n} = 2 + \frac{1}{n^{2}}$ ，则数列 ${S_{n}}$ 是有界的

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二、填空题

13. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (m ， 1 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ ．

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14. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{4} = a_{2} + 6$ ，则 $a_{n} =$ .

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15. 两条直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y - 2 = 0$ 与 $l_{2} ： 3 x - 4 y + 8 = 0$ 之间的距离是.

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16. 试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ 的双曲线方程.

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17. 已知点 $P$ 是曲线 $a x^{2} + b y^{2} = 1$ （其中a，b为常数）上的一点，设M，N是直线 $y = x$ 上任意两个不同的点，且 $| M N | = t$ .则下列结论正确的是.
①当 $a b > 0$ 时，方程 $a x^{2} + b y^{2} = 1$ 表示椭圆；
②当 $a b < 0$ 时，方程 $a x^{2} + b y^{2} = 1$ 表示双曲线；
③当 $a = \frac{1}{24}$ ， $b = \frac{1}{8}$ ，且 $t = 4$ 时，使得 $△ M N P$ 是等腰直角三角形的点 $P$ 有6个；
④当 $a = \frac{1}{24}$ ， $b = \frac{1}{8}$ ，且 $0 < t < 4$ 时，使得 $△ M N P$ 是等腰直角三角形的点 $P$ 有8个.

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18. 某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为.

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三、解答题

19. 某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立.
收银台
顾客
A收银台
B收银台
C收银台
甲
a
0.2
0.4
乙
0.3
b
0.3

(1)、求a，b的值；

(2)、求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；

(3)、求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率.

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20. 在四棱雉 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $Q$ 为棱 $P D$ 的中点， $P A ⊥ A D$ ， $P A = A B = 2$ ，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.条件①：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；条件②： $P A ⊥ A B$ .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $A C Q$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A C Q$ 的距离.

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21. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ ，圆 $C_{1} ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 及点 $P (3 ， 1)$ .

(1)、判断圆 $C$ 和圆 $C_{1}$ 的位置关系；

(2)、求经过点 $P$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程.

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，一个顶点为 $A (0 ， 1)$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $B$ ，且 $| A B | = \frac{4}{3} \sqrt{2}$ ，求点 $B$ 的坐标.

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23. 已知无穷数列 ${y_{n}}$ 满足公式 $y_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 y_{n} ， 0 \leq y_{n} < \frac{1}{2} \\ 2 - 2 y_{n} ， \frac{1}{2} \leq y_{n} \leq 1 \end{array}$ ，设 $y_{1} = a (0 \leq a \leq 1)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{4}$ ，求 $y_{3}$ 的值；

(2)、若 $y_{3} = 0$ ，求 $a$ 的值；

(3)、给定整数 $M (M \geq 3)$ ，是否存在这样的实数 $a$ ，使数列 ${y_{n}}$ 满足：
①数列 ${y_{n}}$ 的前 $M$ 项都不为零；
②数列 ${y_{n}}$ 中从第 $M + 1$ 项起，每一项都是零.
若存在，请将所有这样的实数 $a$ 从小到大排列形成数列 ${a_{n}}$ ，并写出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；若不存在，请说明理由.

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字母	t	o	g	e	h	r	f	a	s	d	u
频数	3	2	1	4	2	4	2	2	1	1	2