北京市朝阳区2022-2023学年高一上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a > b$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$

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2. 若角 $θ$ 满足 $c o s θ < 0 ， t a n θ < 0$ ，则角 $θ$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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3. 下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为 $R$ 的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = (x - 1)^{3}$ C、 $y = x + \frac{1}{x}$ D、 $y = | l n x |$

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4. 设集合 $A = {α | α = k π + \frac{π}{2} ， k \in Z}$ ，集合 $B = {α | α = 2 k π \pm \frac{π}{2} ， k \in Z}$ ，则A与B的关系为（）

A、 $A = B$ B、 $A$ $B$ C、 $B$ $A$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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5. 声强级 $L_{1}$ （单位： $d B$ ）出公式 $L_{1} = 10 l g (\frac{I}{1 0^{- 12}})$ 给出，其中I为声强（单位： $W / m^{2}$ ）．若平时常人交谈时的声强约为 $1 0^{- 6} W / m^{2}$ ，则声强级为（）

A、 $6 d B$ B、 $12 d B$ C、 $60 d B$ D、 $600 d B$

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a + b \leq 2$ ”是“ $a b \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{3^{x} + 1}$ ，有如下四个结论：
①函数 $f (x)$ 在其定义域内单调递减；
②函数 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， 1)$ ；
③函数 $f (x)$ 的图象是中心对称图形；
④方程 $f (x) = - x + 1$ 有且只有一个实根．
其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、③④

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8. 已知角 $α$ 为第一象限角，且 $s i n \frac{α}{2} > c o s \frac{α}{2}$ ，则 $s i n \frac{α}{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ B、 $(- 1 ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$

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9. 某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq x \leq 10$ ），每小时可获得利润 $100 (3 x + 1 - \frac{2}{x})$ 元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）

A、2千克/小时 B、3千克/小时 C、4千克/小时 D、6千克/小时

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10. 定义在 $R$ 上的偶函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x - 1) = - f (x)$ ，且在 $[0 ， 1]$ 上单调递增， $a = f (\frac{2023}{2}) ， b = f (l n \sqrt{2}) ， c = f (2022)$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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二、填空题

11. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 0}$ ，集合 $B = {x | 0 \leq x \leq 1}$ ，则 $A \cup B =$ ．

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12. 设 $a > 1$ 且 $b > 1$ ， $l o g_{2} a \cdot l o g_{2} b = 1$ ，则 $l o g_{2} (a b)$ 的最小值为.

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13. 设函数 $f (x)$ 的定义域为I，如果 $\forall x \in I$ ，都有 $- x \in I$ ，且 $f (- x) = f (x)$ ，已知函数 $f (x)$ 的最大值为2，则 $f (x)$ 可以是．

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14. 已知下列五个函数： $y = x ， y = \frac{1}{x} ， y = x^{2} ， y = l n x ， y = e^{x}$ ，从中选出两个函数分别记为 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，若 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的图象如图所示，则 $F (x) =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x > a \\ | x | ， x \leq a \end{array}$ ，给出以下四个结论：
①存在实数a，函数 $f (x)$ 无最小值；
②对任意实数a，函数 $f (x)$ 都有零点；
③当 $a \geq 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；
④对任意 $a \in (0 ， 1)$ ，都存在实数m，使方程 $f (x) = m$ 有3个不同的实根．
其中所有正确结论的序号是．

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16. 已知角 $α \in (π ， \frac{3}{2} π)$ ，若 $s i n (π + α) = \frac{1}{2}$ ，则 $α =$ ； $s i n (\frac{π}{2} + α) =$ ．

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三、解答题

17. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ．

(1)、求 $s i n α + c o s α$ 和 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $t a n (2 α - \frac{π}{4})$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} - a x - 1 ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若命题“ $\forall x \in R$ ，不等式 $f (x) < 0$ 恒成立”是假命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x + \sqrt{3} s i n 2 x + a ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①： $f (x)$ 的最大值为6；
条件②： $f (x)$ 的零点为 $\frac{π}{2}$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求a的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小值，以及取得最小值时x的值．

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (2^{x} + 1) - m x ， m \in R$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，解不等式 $f (x) > - 1$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求m的值；

(3)、当 $m = - 1$ 时，若函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = b$ 有公共点，求实数b的取值范围．

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21. 设全集 $U = {1 ， 2 ， ⋯ ， n} (n \in N^{*})$ ，集合A是U的真子集．设正整数 $t \leq n$ ，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的 $R (t)$ 子集：
① $t \in A$ ；
② $\forall a \in A ， \forall b \in ∁_{U} A$ ，若 $a b \in U$ ，则 $a b \in A$ ；
③ $\forall a \in A ， \forall b \in ∁_{U} A$ ，若 $a + b \in U$ ，则 $a + b \notin A$ ．

(1)、当 $n = 6$ 时，判断 $A = {1 ， 3 ， 6}$ 是否为U的 $R (3)$ 子集，说明理由；

(2)、当 $n \geq 7$ 时，若A为U的 $R (7)$ 子集，求证： $2 \notin A$ ；

(3)、当 $n = 23$ 时，若A为U的 $R (7)$ 子集，求集合A．

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