江西省抚州市宜黄县2021-2022学年七年级下学期第一次评估数学试题

试卷更新日期：2023-01-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 计算 $2^{2} \cdot 2^{5}$ 的结果是（）

A、 $2^{7}$ B、 $2^{10}$ C、 $4^{10}$ D、40

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2. 斑叶兰的种子小得简直像灰尘一样，1亿粒斑叶兰种子才50克重，因种子太小，只有放在显微镜下才能看清它的真面目，它的一粒种子重约0.0000005克，数据0.0000005用科学记数法表示为（）

A、 $0.5 \times 1 0^{- 7}$ B、 $5 \times 1 0^{- 8}$ C、 $5 \times 1 0^{7}$ D、 $5 \times 1 0^{- 7}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{4} + x^{2} = x^{2}$ B、 $x^{6} \div x^{3} = x^{2}$ C、 ${(y^{2})}^{3} = y^{6}$ D、 $(- 3 x y)^{2} = 6 x^{2} y^{2}$

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4. 墨迹污染了等式32x³4x＝8x²（x≠0）中的运算符号，则污染的是（）

A、+ B、- C、× D、÷

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5. 在边长为 $a$ 的正方形中（如图1）剪去一个边长为 $b$ 的小正方形 $(a > b)$ ，把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（）

A、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $a (a - b) = a^{2} + a b$

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6. 若定义表示 $3 x y z$ ，表示 $- 2 a^{b} c^{d}$ ，则运算的结果为（）

A、 $- 12 m^{3} n^{4}$ B、 $- 6 m^{2} n^{5}$ C、 $12 m^{4} n^{3}$ D、 $12 m^{3} n^{4}$

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二、填空题

7. 计算：a（a-1）＝．

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8. 若 $M \cdot x^{2} y^{3} = x^{5} y^{5}$ ，则M所表示的式子为．

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9. 某种计算机每秒可做 $5 \times 1 0^{9}$ 次运算，它工作 $3 \times 1 0^{5}$ 秒时运算的次数用科学记数法表示为.

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10. 若多项式 $x^{2} + 2 a x + 9$ 是一个完全平方式，其中a为正整数，则a的值为．

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11. 如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+4b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片张．

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12. 已知 ${(2 x + 1)}^{x + 3} = 1$ ，则x=.

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三、解答题

13. 计算：

(1)、 $\frac{1}{2} a^{3} b^{2} \cdot (- 8 a^{2} b^{4})$ ；

(2)、 $(a + b) (a - b) - 2 a^{2} b^{5} \div a^{2} b^{3}$ .

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14. 先化简，再求值： $(x - 1) (2 x + 1) - {(x + 2)}^{2}$ ，其中 $x = 3^{0}$ ．

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15. 已知 $a = 2^{80}$ ， $b = 4^{50}$ ， $c = 8^{30}$ ，比较a，b，c的大小.

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16. 已知 $a^{2} + 2 a - 5 = 0$ ，求代数式 ${(a - 2)}^{2} - 3 (a + 1) (a - 1)$ 的值.小明的解法如下：
原式 $= a^{2} - 4 a + 4 - 3 (a^{2} - 1)$ （第一步）
$= a^{2} - 4 a + 4 - 3 a^{2} - 3$ （第二步）
$= - 2 a^{2} - 4 a + 1$ ，（第三步）
由 $a^{2} + 2 a - 5 = 0$ 得 $a^{2} + 2 a = 5$ ，（第四步）
所以原式 $= - 2 (a^{2} + 2 a) + 1 = - 2 \times 5 + 1 = - 9$ .（第五步）
根据小明的解法解答下列问题：

(1)、小明的解答过程在步上开始出现了错误，错误的原因是.

(2)、请你借鉴小明的解题方法，写出此题的正确解答过程.

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17. 如图，一块长方形铁片，从中挖去直径分别为xcm，ycm的四个半圆．

(1)、用含x、y的式子表示剩下的面积．

(2)、当x＝6，y＝2时，剩下铁片的面积是多少平方厘米？（结果保留π）

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18. 已知：整式 $A = 3 m + 1$ ， $B = 3 m - 1$ ， m为任意有理数.

(1)、 $A \cdot B + 1$ 的值可能为负数吗？请说明理由.

(2)、求 $A^{2} - B^{2}$ 的值.

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19. 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题.例如：“若 $a^{m} = 4$ ， $a^{m + n} = 20$ ，求 $a^{n}$ 的值.”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ ，所以 $20 = 4 \times 5 = a^{m} \cdot a^{n}$ ，所以 $a^{n} = 5$ .

(1)、若 $a^{m} = 2$ ， $a^{2 m + n} = 24$ ，请你也利用逆向思考的方法求出 $a^{n}$ 的值.

(2)、下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：

①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式： ▲ .

②计算： $5^{2022} \times {(- 0.2)}^{2022}$ .

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20. 日历是生活的好助手，仔细观察我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图所示的是某月的日历，若用一个水平放置的方框任意平移框住其中4个日期数.

(1)、若设方框内左上角的数为a，则其他三个数分别用a表示为，，；

(2)、若将方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如： $\begin{array}{l} x & m \\ z & y \end{array} = x y - m z$ ，结果会随方框位置移动而变化吗？若会，请说明理由；若不会，请求出运算结果．

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21. 阅读：已知 $a - b = - 4$ ， $a b = 3$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．小明的解法如下：
解：因为 $a - b = - 4$ ， $a b = 3$ ，
所以 $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b = {(- 4)}^{2} + 2 \times 3 = 22$ ．
请你根据上述解题思路解答下面问题：

(1)、已知 $a - b = - 5$ ， $a b = 2$ ，求 $a^{2} + b^{2} - a b$ 的值．

(2)、已知 $(2020 - x) (2021 - x) = 2058$ ，求 ${(2020 - x)}^{2} + {(2021 - x)}^{2}$ 的值．

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22. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，我们新定义这个正整数为“神秘数”.例如： $8 = 3^{2} - 1^{2}$ ， $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ， $24 = 7^{2} - 5^{2}$ ，因此8，16，24这三个数都是“神秘数”.

(1)、48是“神秘数”吗？请说明理由，并猜想“神秘数”有何特征.

(2)、若长方形相邻两边长为两个连续奇数，试说明其周长一定为“神秘数”.

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23. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算 $(8 x^{2} + 6 x + 1) \div (2 x + 1)$ ，可依照 $672 \div 21$ 的计算方法用竖式进行计算.因此 $(8 x^{2} + 6 x + 1) \div (2 x + 1) = 4 x + 1$ .

(1)、 $(x^{3} + 4 x^{2} + 5 x - 6) \div (x + 2)$ 的商是，余式是.

(2)、利用上述方法解决：若多项式 $2 x^{4} + 4 x^{3} + a x^{2} + 8 x - b$ 能被 $x^{2} - x + 1$ 整除，求 $a^{b}$ 值.

(3)、已知一个长为 $(x + 2)$ ，宽为 $(x - 2)$ 的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为 $(x + 10)$ ，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长.

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