北京市朝阳区2022-2023学年高二上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{5} = 4$ ，则 $a_{4} + a_{6} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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2. 已知点 $(a ， 2) (a > 0)$ 到直线 $l ： x - y + 3 = 0$ 的距离为 $1$ ，则 $a$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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3. 设函数 $f (x) = x + l n x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $2 x - y - 1 = 0$ C、 $x - y - 2 = 0$ D、 $2 x - y - 2 = 0$

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4. 已知F是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $P (3 ， y_{0})$ 在抛物线C上，则 $| P F | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} + 1$ C、3 D、4

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5. 已知直线 $l_{1} ： x + a y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2} ： (a + 2) x + 3 y - 1 = 0$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $G$ 是 $B C$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A G} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$

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7. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + x + 1 (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $a < - \sqrt{3}$ 或 $a > \sqrt{3}$ B、 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $x_{1} + x_{2} = \frac{1}{3}$ D、 $x_{1} x_{2} = - \frac{1}{3}$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，且 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，则 $△ F_{1} F_{2} M$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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9. 如图，平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ， $α ∩ β = l$ ， A，B是直线l上的两点，C，D是平面 $β$ 内的两点，且 $D A ⊥ l$ ， $C B ⊥ l$ ， $D A = 4$ ， $A B = 6$ ， $C B = 8$ ，若平面 $α$ 内的动点P满足 $∠ A P D = ∠ B P C$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的最大值为（）

A、24 B、 $24 \sqrt{3}$ C、48 D、 $48 \sqrt{3}$

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10. 斐波那契数列 ${F_{n}} (n \in N^{*})$ 在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的： $F_{1} = F_{2} = 1$ ，当 $n > 2$ 时， $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ ．若 $F_{100} = \frac{F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + F_{3}^{2} + ⋯ + F_{m}^{2}}{F_{m}}$ ，则 $m =$ （）

A、98 B、99 C、100 D、101

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = x e^{x}$ 的导函数 $f^{'} (x) =$ .

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12. 已知平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1 ， 2 ， - 2)$ ，直线l的方向向量为 $\vec{u} = (- 2 ， m ， 4)$ ，且 $l ⊥ α$ ，则实数 $m =$ ．

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13. 过圆 $C ： (x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ 的圆心且与直线 $x - y = 0$ 平行的直线的方程是．

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14. 已知 ${a_{n}}$ 是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n， $2 a_{2 n - 1} + a_{2 n} > 0$ 恒成立，则q的值可以是．（只需写出一个）

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15. 数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线 $D$ 在平面直角坐标系 $x O y$ 中的方程为 $x^{3} + y^{3} - 3 a x y = 0$ ．当 $a = 1$ 时，给出下列四个结论：
①曲线 $D$ 不经过第三象限；
②曲线 $D$ 关于直线 $y = x$ 轴对称；
③对任意 $k \in R$ ，曲线 $D$ 与直线 $y = - x + k$ 一定有公共点；
④对任意 $k \in R$ ，曲线 $D$ 与直线 $y = k$ 一定有公共点．
其中所有正确结论的序号是．

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16. 设点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，则椭圆C的离心率为；经过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积最大时， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} =$ ．

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in [0 ， 4]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值与最小值．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*}) ， a_{1} = 1 ， a_{5} = 9$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．
条件①： $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ；
条件②： $b_{n} = 2^{n} + a_{n}$ ；
条件③： $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $P A = P B = 3$ ， $B C = 1$ ， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，点O是 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $P O ⊥ C D$ ；

(2)、求二面角 $A - P O - D$ 的余弦值；

(3)、在棱 $P C$ 上是否存在点M，使得 $B M / /$ 平面 $P O D$ ?若存在，求 $\frac{C M}{C P}$ 的值；若不存在，说明理由．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，且点 $P (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆C上．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $M (4 ， 0)$ 的直线l椭圆C交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且 $y_{1} y_{2} \neq 0$ ．问：x轴上是否存在点N使得直线 $N A$ ，直线 $N B$ 与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．

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21. 在无穷数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \sqrt{2} ， a_{2} = 1 ， a_{n + 2} = | a_{n + 1} - a_{n} | ， n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $\frac{a_{4}}{a_{1}}$ 与 $\frac{a_{7}}{a_{4}}$ 的值；

(2)、证明：数列 ${a_{n}}$ 中有无穷多项不为0；

(3)、证明：数列 ${a_{n}}$ 中的所有项都不为0．

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