北京市昌平区2023届高三上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x < 2} ， B = {x ∣ x > 0}$ ，则集合 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[- 1 ， 2)$

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2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(a ， 1)$ ，且满足 $(1 - i) \cdot z = 2$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = x | x |$ D、 $y = l o g_{\frac{1}{2}} x$

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4. 若 $a > b > 0, c > d > 0$ ，则一定有（）

A、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ B、 $\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$ C、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ D、 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$

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5. 已知二项式 ${(x + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中 $\frac{1}{x}$ 的系数是10，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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6. 若 $s i n (π - α) = - \frac{4}{5} ， c o s α > 0$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，则“角 $α$ 与角 $β$ 的终边关于 $y$ 轴对称”是“ $s i n α = s i n β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（）

A、16 B、18 C、20 D、22

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9. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ .斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线经过焦点 $F$ ，交抛物线 $C$ 于点 $A$ ，交准线 $l$ 于点 $B$ （ $A ， B$ 在 $x$ 轴的两侧）.若 $| A B | = 6$ ，则抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = 3 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 6 x$

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10. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{2} ， | \vec{b} | = 1 ， ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{4} ， (\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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二、填空题

11. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} - 2 a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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12. 若直线 $y = k x + 2$ 与圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = a$ 有公共点，则 $a$ 的最小值为.

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13. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的六条棱长均为 $a ， O$ 是底面 $△ A B C$ 的中心，用一个平行于底面的平面截三棱锥，分别交 $P A ， P B ， P C$ 于 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ 点（不与顶点 $P$ ， $A ， B ， C$ 重合）.
给出下列四个结论：
①三棱锥 $O - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为正三棱锥；
②三棱锥 $P - A B C$ 的高为 $\frac{\sqrt{6}}{3} a$ ；
③三棱锥 $O - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积既有最大值，又有最小值；
④当 $\frac{P A_{1}}{P A} = \frac{2}{3}$ 时， $\frac{V_{O - A_{1} B_{1} C_{1}}}{V_{P - A B C}} = \frac{4}{27}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为；若 $| P F_{1} | = 4$ ，则 $| P F_{2} | =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中， $a = 8 ， c = 7 ， c o s A = \frac{1}{7}$ ，则 $b =$ ， $∠ C =$ .

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 ω x - c o s 2 ω x (0 < ω < 2)$ ，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，
条件①：函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{π}{3} ， 2)$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $g (x) = 2 s i n 2 x$ 的图象平移得到；
条件③：函数 $f (x)$ 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .
注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性､耐磨性､耐碱性､手柄温度､温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性､耐磨性”检测结果的数据如下：

		检测结果
序号	品牌名称	不粘性	耐磨性
1	品牌1	Ⅰ级	Ⅰ级
2	品牌2	Ⅱ级	Ⅰ级
3	品牌3	Ⅰ级	Ⅰ级
4	品牌4	Ⅱ级	Ⅱ级
5	品牌5	Ⅰ级	Ⅰ级
6	品牌6	Ⅱ级	Ⅰ级
7	品牌7	Ⅰ级	Ⅰ级
8	品牌8	Ⅰ级	Ⅰ级
9	品牌9	Ⅱ级	Ⅱ级
10	品牌10	Ⅱ级	Ⅱ级
11	品牌11	Ⅱ级	Ⅱ级
12	品牌12	Ⅱ级	Ⅱ级

（Ⅰ级代表性能优秀，Ⅱ级代表性能较好）

(1)、从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是Ⅰ级的概率；

(2)、从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是Ⅰ级的品牌个数，求随机变量

X

的分布列和数学期望；

(3)、从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设

Y

为性能都是Ⅰ级的品牌个数，比较随机变量

X

和随机变量

Y

的数学期望的大小（结论不要求证明）.

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18. 如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为矩形， $C A ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C ， A A_{1} = A C = 4 ， C C_{1} = 2 ， A B = 3$ .

(1)、求证： $C C_{1}$ $∥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(2 ， 0)$ ，且离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和短轴长；

(2)、已知点 $P (1 ， 0)$ ，直线 $l$ 过点 $(0 ， 3)$ 且与椭圆 $C$ 有两个不同的交点 $A ， B$ ，问：是否存在直线 $l$ ，使得 $△ P A B$ 是以点 $P$ 为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} + m e^{- x} + (m - 1) x ， m \leq 0$ .

(1)、当 $m = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $- e \leq m < - 1$ 时，证明：对任意的 $x \in (0 ， + ∞) ， f (x) \geq - 2$ 恒成立.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} \in N^{*} ， a_{1} \leq 24$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} ， a_{n} \leq 12 ， \\ 2 a_{n} - 24 ， a_{n} > 12 \end{array} (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ .记集合 $M = {a_{n} ∣ n \in N^{*}}$ .

(1)、若 $a_{1} = 2$ ，写出集合 $M$ 的所有元素；

(2)、若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数，证明： $M$ 的所有元素都是3的倍数；

(3)、求集合 $M$ 的元素个数的最大值.

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