北京市昌平区2022-2023学年高二上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l ： x + y - 2 = 0$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知 $\vec{a} = (x ， 1 ， - 2) ， \vec{b} = (2 ， y ， 1)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、2 C、 $- 2$ D、8

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的右焦点坐标为（）

A、 $(- 5 ， 0)$ B、 $(3 ， 0)$ C、 $(4 ， 0)$ D、 $(5 ， 0)$

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4. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， \vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，点 $E$ 是 $B B_{1}$ 的中点，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 在 $(x - 3)^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $- 270$ B、 $- 90$ C、90 D、270

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6. 设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $α ∥ β ， m \subset α ， n \subset β$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ⊥ β ， m ∥ α ， n ∥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ∥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$

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7. “ $m = 2$ ”是“双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知直线 $l ： y = k x - 1$ 与曲线 $C ： y = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$ 有公共点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $(- ∞ ， - 2] \cup [2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] ∪ [\frac{1}{2} ， + \infty)$

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9. 某社区征集志愿者参加为期5天的“垃圾分类，全民行动”的宣传活动，要求志愿者每人只参加一天且每天至多安排一人.现有甲､乙､丙3人报名，甲要求安排在乙､丙的前面参加活动，那么不同的安排方法共有（）

A、18种 B、20种 C、24种 D、30种

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10. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的八条棱长均为 $4 ， S$ 是四边形 $A B C D$ 及其内部的点构成的集合.设集合 $T = {Q \in S | P Q \leq 3}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $3 π$

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二、填空题

11. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 1 = 0 ， l_{2} ： x - 3 y + 1 = 0$ .若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a =$ .

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12. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数共有个．（用数字作答）

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13. 若 $(1 + 2 x)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{1} + a_{3} =$ .（用数字作答）

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14. 数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线 $G ：$ $x^{2} + y^{2} = 4 + | x y |$ 就是其中之一（如图）.给出下列四个结论：
①曲线 $G$ 有且仅有四条对称轴；
②曲线 $G$ 上任意两点之间的距离的最大值为6；
③曲线 $G$ 恰好经过8个整点（即横坐标､纵坐标均为整数的点）；
④曲线 $G$ 所围成的区域的面积大于16.
其中所有正确结论的序号是.

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15. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C ， A B ⊥ A C ， P A = 1 ， A B = A C = 2$ ，则异面直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的大小为；点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离为.

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16. 已知双曲线 $C$ 经过点 $(1 ， 4)$ ，离心率为 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为；其焦距为.

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三、解答题

17. 已知圆 $C$ 的圆心坐标为 $C (1 ， 0)$ ，且经过点 $P (0 ， \sqrt{3})$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，求直线 $l$ 的方程及 $△ P C M$ 的面积.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C ， A C ⊥ B C ， C A = C C_{1} = C B = 1$ .

(1)、求证： $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求直线 $C_{1} C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的大小.

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $(1 ， 2)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程及其准线方程；

(2)、设 $M (1 ， 4)$ ，直线 $l ： y = x + b$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A ， B$ .若 $△ M A B$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形，求证：直线 $l$ 经过抛物线 $C$ 的焦点.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D ， D A = D C = D P = 2$ ，点 $M$ 在棱 $P C$ 上，且 $P A$ $/ /$ 平面 $B D M$ .

(1)、求证： $M$ 是棱 $P C$ 的中点；

(2)、再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（i）二面角 $M - B D - C$ 的余弦值；
（ii）在棱 $P A$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $B Q ⊥$ 平面 $B D M$ ？若存在，求出 $\frac{P Q}{P A}$ 的值；若不存在，说明理由.
条件①： $∠ B A D = 60 °$ ；
条件②： $B D = 2$ .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

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21. 已知椭圆 $G ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其左､右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，过点 $P (1 ， 0)$ 作与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 交椭圆 $G$ 于点 $M ， N$ （点 $M$ 在 $x$ 轴的上方）.

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、若线段 $M N$ 的长等于 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、设直线 $A_{1} M ， A_{2} N$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，试判断 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值？若是定值，求出这个定值，并加以证明；若不是定值，说明理由.

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