安徽省皖南十校2022-2023学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-01-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7} ， B = {x ∣ \frac{x - 5}{x - 2} ⩽ 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{1，3} B、{3，5} C、{5，7} D、{1，7}

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{l o g_{\frac{1}{2}} (1 - x)}$ 的定义域为（）

A、[0，1) B、(－∞，1) C、(1，+∞) D、[0，+∞)

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3. 已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $- \frac{7}{5}$

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4. 已知 $α \in R$ 则“ $\cos α = - \frac{1}{2}$ ”是“ $α = 2 k π + \frac{2 π}{3} ， k \in Z$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 2}$ 是幂函数，且为偶函数，则实数 $m =$ （）

A、 $2$ 或 $- 1$ B、 $- 1$ C、 $4$ D、 $2$

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6. 设 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = l o g_{2} 3$ ， $c = l o g_{5} \frac{1}{4}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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7. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP（国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为（参考数据： $l g 2 = 0.3010$ ， $l g 3 = 0.4771$ ）（）

A、2032 B、2035 C、2038 D、2040

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \ln x | ， x > 0 \\ 2 e^{x} - 1 ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若关于x的方程 $f (x) = a$ 有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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9. 命题p： $\exists x \in R$ ， $x^{2} + b x + 1 \leq 0$ 是假命题，则实数b的值可能是（）

A、 $- \frac{7}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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二、多选题

10. 如果 $2 θ$ 是第四象限角，那么 $θ$ 可能是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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11. 若函数 $f (x) = a^{x} - b$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的图像经过第一、二、三象限，则（）

A、 $0 < a^{b} < 1$ B、 $0 < b^{a} < 1$ C、 $a^{b} > 1$ D、 $b^{a} > 1$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为A，若对任意 $x ∈ A$ ，存在正数M，使得 $| f (x) | \leq M$ 成立，则称函数 $f (x)$ 是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（）

A、 $f (x) = \frac{3 + x}{4 - x}$ B、 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ C、 $f (x) = \frac{5}{x^{2} - 2 x + 2}$ D、 $f (x) = | x | + \sqrt{4 - | x |}$

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三、填空题

13. 半径和圆心角都是 $\frac{π}{3}$ 的扇形的面积为．

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14. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} x + 2^{x} - 6$ 的零点为 $a$ ，则 $a \in (n ， n + 1) (n \in N)$ ，则 $n =$ ．

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15. 若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为.

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16. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x^{3} + 2^{x} (x \geq 0)$ ，若 $f (1 - m) \geq f (m)$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 1 \leq 2^{x + 1} \leq 8}$ ， $B = {x | (x - a) (x - a - 1) < 0}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $1 \in B$ ，求实数a取值范围；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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18. 已知 $c o s α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $α$ 是第三象限角，求：

(1)、 $t a n α$ 的值；

(2)、 $\frac{s i n (\frac{3 π}{2} - α) c o s (π + α) t a n (- α - π)}{c o s (2 π - α) s i n (π - α) t a n (- α)}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + m x$ ，函数 $f (x)$ 在y轴左侧的图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、讨论关于x的方程 $f (x) - a = 0$ 的根的个数．

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (1 + b x) - \log_{a} (1 - x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1 ， b > 0$ ）为奇函数.

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集.

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21. 某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为 $x$ 元时，销售量可达到 $(10 - 0.1 x)$ 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价 $-$ 供货价格.

(1)、求每套丛书利润 $y$ 与售价 $x$ 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？

(2)、每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.

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22. 已知e是自然对数的底数， $f (x) = e^{x} + \frac{1}{e^{x}}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性并证明你的判断是正确的；

(2)、记 $g (x) = l n {(3 - a) [f (x) - e^{- x}] + 1} - l n 3 a - 2 x$ ，若 $g (x) \leq 0$ 对任意的 $x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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