山东省济宁市经开区2021-2022学年八年级下学期第一次月考测试数学试题

试卷更新日期：2023-01-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若代数式 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 有意义，则x必须满足条件（）

A、 $x \geq 0$ B、 $x > - 1$ C、 $x \geq - 1$ D、 $x$ 为任意实数

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2. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{3}}$

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3. 下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（）

A、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ， 2 B、5，7，11 C、9 ，12，15 D、15 ，20 ，25

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4. 下列各式中，运算正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 2)^{2}} = - 2$ B、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$ C、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3$

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5.
实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ $\sqrt{{(a - b)}^{2}}$ 的结果是（　　）

A、﹣2a+b B、2a﹣b C、﹣b D、b

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6. 已知 $a$ 、 $b$ 均为有理数，且 $a + b \sqrt{6} = (\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2}$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值为（）

A、2，-5 B、5，2 C、5，-2 D、-2，5

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7. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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8. 如图，∠C＝90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，已知BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分周长为（）

A、16cm B、18cm C、20cm D、22cm

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9. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开4 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A、7 m B、7.5 m C、8 m D、9 m

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10. 如图，在四边形ABDE中， $A B ∥ D E$ ， $A B ⊥ B D$ ，点C是边BD上一点， $B C = D E = a$ ， $C D = A B = b$ ， $A C = C E = c$ ．下列结论：① $△ A B C ≅ △ C D E$ ；② $∠ A C E =$ 90°；③四边形ABDE的面积是 $\frac{1}{2} (a^{2} + b^{2})$ ；④ $\frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) - \frac{1}{2} c^{2} = 2 \times \frac{1}{2} a b$ ；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题

11. 若最简二次根式 $\sqrt{a + 1}$ 与 $\sqrt{2}$ 能合并成一项，则a＝．

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12. 如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（ $π$ 取3）

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13. 已知 $Δ A B C$ 的三边分别为a， b ，c，且a， b 满足 $b = \sqrt{5 - a} + \sqrt{a - 5} + 12$ ，c=13，则 $S_{Δ A B C}$ = ．

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14. 如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：．（填“能”或“不能”．）

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15. 已知 $y = \sqrt{{(x - 4)}^{2}} - x + 5$ ，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{8} + \sqrt{32} - (\sqrt{2} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}})$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt{8} \times \sqrt{2}$

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17. 如图①、如图②、如图③均为 $3 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：

(1)、在如图①中画出 $R t △ A B C$ ，使三个顶点均在格点上且 $A C = A B$ ， $∠ B A C = 90 °$ ；

(2)、在如图②中画出 $R t △ A B C$ ，使三个顶点均在格点上且 $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ；

(3)、在如图③中画出 $△ A B C$ ，使三个顶点均在格点上且 $A C = B C$ ， $∠ A C B \neq 90 °$ ．

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18. 如图，从一个大正方形中裁去面积为 $15 c m^{2}$ 和 $24 c m^{2}$ 的两个小正方形，求留下部分的面积．

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19. 图1是超市购物车，图2为超市购物车侧面示意图，测得∠ACB=90°，支架AC=4.8dm，CB=3.6dm．

(1)、两轮中心 $A B$ 之间的距离为dm；

(2)、若 $O F$ 的长度为 $\sqrt{50}$ dm，支点F到底部 $D O$ 的距离为5dm，试求 $∠ F O D$ 的度数．

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20. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．

(1)、求AB的长；

(2)、求△ACB的面积．

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21. 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ 。以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
也可以用如下方法化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$

(1)、请用两种不同的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ ．

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22. 问题：要在一条笔直的路边 l 上建一个燃气站，向 l 同侧的 A、B 两个城镇铺设管道输送燃气．如图①，已知 A、B 两个城镇到 l 的距离分别为 2km、3km，CD＝12km，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

方案一：如图②，分别向 A、B 两个城镇输送燃气．具体方法是：作出点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B，线段 A'B 与直线 l 的交点 P 的位置即为所求，即在点 P 处建燃气站．

方案二：如图③，在点 C 处建燃气站，先向 A 城镇输送燃气，再向 B 城镇输送燃气．

(1)、通过计算说明哪个方案路线更短；

(2)、小明认为图②中点 P 的位置既然确定了，那么 CP 的长也就确定了，请写出求 CP 的长的思路．

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