辽宁省大连市高新园区名校联盟2021-2022学年八年级下学期4月月考数学试题

试卷更新日期：2023-01-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）

A、1，2，3 B、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ C、4，5，6 D、12，15，20

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{12} \div \sqrt{3} = 4$

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4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，则正方形ABDE的面积为（）

A、5 B、9 C、16 D、25

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5. 下列各式中，与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt{12}$

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6. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（）

A、30 B、40 C、50 D、60

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7. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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8. 已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 $| a - 1 | - \sqrt{{(a - 2)}^{2}}$ 的结果是（）

A、 $3 - 2 a$ B、-1 C、1 D、 $2 a - 3$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A 、 B$ 的坐标分别为 $(- 3 ， 0) 、 (0 ， 4)$ ，以点A为圆心，以 $A B$ 长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（）

A、 $(5 ， 0)$ B、 $(2 ， 0)$ C、 $(- 8 ， 0)$ D、 $(2 ， 0)$ 或 $(- 8 ， 0)$

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10. 下列命题：①全等三角形的对应角相等；②一个正数的绝对值等于本身；③若三角形的三边长 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则该三角形是直角三角形；④等边三角形的三个内角都等于 $60 °$ ．其中逆命题是真命题的是（）

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $③ ④$ D、 $① ② ③$

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二、填空题

11. 若式子 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是.

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12. 在△ABC中，∠C=90°， $c = 2$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ = ．

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13. 已知长方形的面积为12，共中一边长为 $2 \sqrt{2}$ ，则该长方形的另一边长为．

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14. 在《九章算术》中有一个问题（如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（ $10$ 尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根 $3$ 尺，试问折断处离地面尺．

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15. 已知 $x = \sqrt{3} + 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} =$ ．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上，按图中所示方法将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折叠，使点 $C$ 落在边 $A B$ 上的点 $C^{'}$ 处，则折痕 $B D$ 的长为.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \sqrt{48}$ ；

(2)、 $\frac{2}{3} \sqrt{9 a} + 6 \sqrt{\frac{a}{4}} - a \sqrt{\frac{1}{a}}$ ．

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18. 已知x＝ $\sqrt{2}$ -1，求代数式（3+2 $\sqrt{2}$ ）x²+（ $\sqrt{2}$ +1）x+ $\sqrt{2}$ 的值．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $A C = 20$ ， $C D = 12$ ， $B D = 9 ．$ 求 $A B$ 与 $B C$ 的长．

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20. 如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米．

(1)、求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长；

(2)、如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点 $A^{'}$ ，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗?请说明你的理由．

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21. 如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行， $\frac{1}{2}$ 小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？

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22. 阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子” $．$ 如： $(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}) = 1$ ， $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ ，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如 $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：

(1)、 $4 + \sqrt{7}$ 的有理化因式可以是， $\frac{2}{3 \sqrt{2}}$ 分母有理化得．

(2)、计算：
① $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{1999} + \sqrt{2000}}$ ．
②已知： $x = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ ， $y = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值．

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23. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．

(1)、求证：∠AEB=∠ACF；

(2)、求证：EF²+BF²=2AC² ．

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24. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 $a + \sqrt{2} b = {(m + \sqrt{2} n)}^{2}$ （其中a、b、m、n均为正整数），则有 $a + \sqrt{2} b = m^{2} + 2 \sqrt{2} m n + 2 n^{2}$ ，
∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分 $a + \sqrt{2} b$ 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为正整数时，若 $a + \sqrt{6} b = {(m + \sqrt{6} n)}^{2}$ ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝， b＝；

(2)、若 $a + 4 \sqrt{3} = {(m + \sqrt{3} n)}^{2}$ ，且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)、化简： $\sqrt{7 - \sqrt{21 + \sqrt{80}}}$ ．

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25. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 6 c m$ ，动点 $P$ 由点 $A$ 出发，沿 $A B$ 边以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度运动到点 $B$ 停止，过 $P$ 作 $P M ⊥ A B$ 交 $A C$ 或 $B C$ 边于点 $M$ ，过点 $P$ 作 $A C$ 的平行线与过点 $M$ 作 $A B$ 的平行线交于点 $N$ ．

(1)、填空： $A B =$ cm；

(2)、当点 $N$ 在 $B C$ 边上时，求 $t$ 的值；

(3)、 $△ P M N$ 与 $△ A B C$ 重合部分图形的面积为S $c m^{2}$ ，用含 $t$ 的代数式表示 $s$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围．

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26. 如图 $1$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 在 $B A$ 延长线， $∠ C D B = 45 °$ ，点 $M$ 在 $B C$ 边上，四边形 $A C M N$ 为正方形．

(1)、填空： $∠ A C D =$ $°$ ；

(2)、求 $\frac{B M}{A D}$ 的值；

(3)、连结 $C N$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，如图 $2$ ，探究 $A D$ 、 $D E$ 、 $B E$ 三条线段之间的数量关系，并证明．

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