安徽省滁州市定远县永康片2021-2022学年八年级下学期第三次教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2023-01-13 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{(- 2)^{2}} = - 2$ B、 $\sqrt{\frac{9}{4}} = \pm \frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{(\pm 6)^{2}} = \pm 6$ D、 $(- \sqrt{2})^{2} = 2$

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2.
实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ $\sqrt{{(a - b)}^{2}}$ 的结果是（　　）

A、﹣2a+b B、2a﹣b C、﹣b D、b

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3. 已知a<b，化简二次根式 $\sqrt{- 8 a^{3} b}$ （）

A、 $2 a \sqrt{- 2 a b}$ B、 $- 2 a \sqrt{2 a b}$ C、 $2 a \sqrt{2 a b}$ D、 $- 2 a \sqrt{- 2 a b}$

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4. 若关于x的方程 $x^{2} + b x + a = 0$ 的一个根是 $- a (a \neq 0)$ ，则 $a - b$ 的值为（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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5. 如果关于 $x$ 的方程 $(m - 1) x^{2} + x + 1 = 0$ 有实数根，那么 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < \frac{5}{4}$ B、 $m < \frac{5}{4}$ 且 $m \neq 1$ C、 $m \leq \frac{5}{4}$ D、 $m \leq \frac{5}{4}$ 且 $m \neq 1$

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6. 小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 $c m^{2}$ 的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）

A、 $(80 - x) (70 - x) = 3000$ B、 $80 \times 70 - 4 x^{2} = 3000$ C、 $(80 - 2 x) (70 - 2 x) = 3000$ D、 $80 \times 70 - 4 x^{2} - (70 + 80) x = 3000$

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7. 如图，AD为等边△ABC边BC上的高，AB＝4，AE＝1，P为高AD上任意一点，则EP＋BP的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{15}$

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8. 已知a，b，c是 $Δ A B C$ 的三边长，且满足 $\sqrt{a - 6} + | b - 8 | + {(c - 10)}^{2} = 0$ ，则 $Δ A B C$ 是（）

A、以a为斜边的直角三角形 B、以b为斜边的直角三角形 C、以c为斜边的直角三角形 D、以c为底边的等腰三角形

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9. 一个多边形的每一个内角都等于 $140^{\circ}$ ，那么这个多边形的边数是 $($ $)$

A、9条 B、8条 C、7条 D、6条

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10. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $A E ⊥ B C$ 于点E， $A B = \sqrt{3}$ ， $A O = 1$ ， $B D = 4$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} + \sqrt{24} =$ .

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12. 关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是.

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13. 如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5，D为BC边的中点．则S_△ABC＝．

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14. 一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的对角线共有条．

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三、解答题

15. 计算：

(1)、 $(\sqrt{6} - \sqrt{18}) \times \sqrt{3} + 3 \sqrt{6}$

(2)、先化简，再求值 $\frac{a^{2} b + a b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ ，其中 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ ．

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16. 观察下列等式，根据其中的规律解决下列问题：
① $\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2} = 1 + 1$ ；② $\sqrt{2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + 2} = 2 + \frac{1}{2}$ ；③ $\sqrt{3^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + 2} = 3 + \frac{1}{3}$ ；…．

(1)、根据规律写出第6个等式；

(2)、根据规律用n（n为正整数）表示出第n个等式，并加以证明．

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17. 已知关于x的一元二次方程 $(a - 3) x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .

(1)、若方程的一个根为 $x = - 1$ ，求a的值；

(2)、若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值.

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18. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（ $\sqrt{3}$ ≈1.732，结果精确到1米）？

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19. 已知关于x的一元二次方程（a＋c）x²＋2bx＋（a-c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．

(1)、如果x＝-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)、如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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20. 为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．

(1)、求AE的长（用含x的代数式表示）．

(2)、当矩形ABCD的面积为600m²时，求BC的长．

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21. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE．

(1)、求证：△CEA≌△CDB；

(2)、求证：AE²+AD²＝DE² ．

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22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解答以下问题：

(1)、BC边的长为；

(2)、当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程；

(3)、当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值．

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23. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ $\sqrt{2}$ c，这时我们把关于x的形如ax²+ $\sqrt{2}$ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

(1)、写出一个“勾系一元二次方程” ．

(2)、求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+ $\sqrt{2}$ cx+b＝0必有实数根．

(3)、若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax²+ $\sqrt{2}$ cx+b＝0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长．

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