2023年中考数学精选真题实战测试25 二次函数 A

试卷更新日期：2023-01-13 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 将抛物线y=x²向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）

A、y=x²+3 B、y=x²-3 C、y=(x+3)² D、y=(x-3)²

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2. 已知抛物线 $y = (x - 2)^{2} + 1$ ，下列结论错误的是（）

A、抛物线开口向上 B、抛物线的对称轴为直线 $x = 2$ C、抛物线的顶点坐标为 $(2 ， 1)$ D、当 $x < 2$ 时，y随x的增大而增大

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3. 已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a $\neq$ 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）

A、a＞0 B、a＋b＝3 C、抛物线经过点（－1，0） D、关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根

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4. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = - \frac{c}{x}$ 在同一坐标系内的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知点 A（a，2）、B（b，2）、C（c，7）都在抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ 上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）

A、若 $c < 0$ ，则 $a < c < b$ B、若 $c < 0$ ，则 $a < b < c$ C、若 $c > 0$ ，则 $a < c < b$ D、若 $c > 0$ ，则 $a < b < c$

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6. 已知二次函数y=x²−2x−3的自变量x₁ ， x₂ ， x₃对应的函数值分别为y₁ ， y₂ ， y₃.当−1<x₁<0，1<x₂<2，x₃>3时，y₁ ， y₂ ， y₃三者之间的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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7. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $0 < a < c$ ）经过点 $(1 ， 0)$ ，有下列结论：
① $2 a + b < 0$ ；
②当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 $a x^{2} + b x + (b + c) = 0$ 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y₁）、点B（﹣ $\frac{1}{2}$ ， y₂）、点C（ $\frac{7}{2}$ ， y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）.其中正确的结论有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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9. 已知 $A (- 3 ， - 2) ， B (1 ， - 2)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 顶点在线段 $A B$ 上运动，形状保持不变，与 $x$ 轴交于 $C ， D$ 两点（ $C$ 在 $D$ 的右侧），下列结论：
①. $c \geq - 2$ ；②.当 $x > 0$ 时，一定有 $y$ 随 $x$ 的增大而增大；③.若点 $D$ 横坐标的最小值为-5，点 $C$ 横坐标的最大值为3；④.当四边形 $A B C D$ 为平行四边形时， $a = \frac{1}{2}$ .

其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、①③④

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，与y轴交于 $(0 ， - 1)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ .下列结论：① $a b c > 0$ ；② $a > \frac{1}{3}$ ；③对于任意实数m，都有 $m (a m + b) > a + b$ 成立；④若 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(\frac{1}{2} ， y_{2})$ ， $(2 ， y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ ；⑤方程 $| a x^{2} + b x + c | = k$ （ $k ⩾ 0$ ，k为常数）的所有根的和为4.其中正确结论有（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 .

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12. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 $y = - 0.2 x^{2} + x + 2.25$ 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 m .

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13. 规定：两个函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数 $y_{1} = 2 x + 2$ 与 $y_{2} = - 2 x + 2$ 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”.若函数 $y = k x^{2} + 2 (k - 1) x + k - 3$ （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为.

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14. 在平面直角坐标系中，点 $C$ 和点 $D$ 的坐标分别为 $(- 1 ， - 1)$ 和 $(4 ， - 1)$ ，抛物线 $y = m x^{2} - 2 m x + 2 (m \neq 0)$ 与线段 $C D$ 只有一个公共点，则 $m$ 的取值范围是．

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15. 把二次函数y=x²+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：.

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）开口向下，过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ 两点，且 $1 < m < 2$ .下列四个结论：
① $b > 0$ ；

②若 $m = \frac{3}{2}$ ，则 $3 a + 2 c < 0$ ；

③若点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；

④当 $a \leq - 1$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 必有两个不相等的实数根.

其中正确的是（填写序号）.

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，直线 $B C$ 方程为 $y = x - 3$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 为抛物线上一点，若 $S_{△ P B C} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $Q$ 是抛物线上一点，若 $∠ A C Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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18. 某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)、求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

(2)、若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？

(3)、设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

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19. 为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：

二次函数的图象经过点 $(- 1 ， - 1)$ ，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．

(1)、 [观察发现]
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．

(2)、[思考交流]
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．

(3)、[概括表达]
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．

请你探究这个方法，写出探究过程．

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20. 如图1，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C.
图1 图2

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3)、设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $S_{△ P A B} = 6$ 的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

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21. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A ， B (4 ， 0)$ 两点（A在B的左侧），与y轴交于点 $C (0 ， - 4)$ ，点P在抛物线上，连接 $B C ， B P$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若点P在第四象限，点D在线段 $B C$ 上，连接 $P D$ 并延长交x轴于点E，连接 $C E$ ，记 $△ D C E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ D B P$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = S_{2}$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段 $B C$ 交于点G，当 $∠ P B C + ∠ C F G = 90 °$ 时，求点P的横坐标．

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22. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0) 、 B (8 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，连接AC、BC．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、将 $△ A B C$ 沿AC所在直线折叠，得到 $△ A D C$ ，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；

(3)、点P是抛物线上的一动点，当 $∠ P C B = ∠ A B C$ 时，求点P的坐标．

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23. 如图①，已知抛物线L：y＝x²+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC $∥$ x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的关系式；

(2)、若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)、将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；

(4)、如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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