人教版九年级数学2023年寒假专项训练----复习部分第二十二章二次函数 B卷

试卷更新日期：2023-01-12 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 二次函数 $y = a x^{2} + b x - 1 (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(1 ， 1)$ ，则代数式 $a + b$ 的值为（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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2. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的x、y的部分对应值如下表：

x

-1

0

1

2

3

y

5

1

-1

-1

1

下列结论中正确的有（）个．

① $a > 0$ ；②抛物线的对称轴是直线 $x = \frac{3}{2}$ ；③不等式 $a x^{2} + b x + c - 1 < 0$ 的解集是 $0 < x < 3$ ；④1是方程 $a x^{2} + (b + 1) x + c = 0$ 的根．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a > b > c$ ，且 $a + b + c = 0$ ，则它的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 2$ 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）

A、 $y = (x + 2)^{2} + 4$ B、y＝（x－4）²＋4 C、 $y = (x + 2)^{2}$ D、 $y = (x - 4)^{2}$

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5. 如图，二次函数 $y = (x + a)^{2}$ 与一次函数 $y = a x - a$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（-4，1），（-1，-4），且AD平行于x轴，当函数y＝x²+2mx-2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（）

A、1≤m≤ $\frac{3}{2}$ B、0≤m≤ $\frac{3}{2}$ C、-1＜m≤1或 $\frac{3}{2}$ ≤m＜ $\frac{9}{4}$ D、-1＜m≤0或1≤m＜ $\frac{9}{4}$

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7. 二次函数y=ax²十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：① $a b c < 0$ ；② $a - b + c > 0$ ；③c-4a=1；④ $b^{2} > 4 a c$ ；⑤ $a m^{2} + b m + c \leq 1$ （m为任意实数）．其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

8. 如图， $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（ $A$ 在左边）与 $y$ 轴交于 $C$ 点， $P$ 是线段 $A C$ 上的一点，连结 $B P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，连结 $O P$ ，当 $△ O A P$ 和 $△ P Q C$ 的面积之和与 $△ O B Q$ 的面积相等时，点 $P$ 的坐标为.

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9. 大强对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为 $y = - \frac{1}{6} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{5}{3}$ ，由此可知大强此次实心球训练的成绩为米.

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10. 已知二次函数y=a（x-x₁）（x-x₂）与x轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x的方程a（x-x₁）（x-x₂）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，关于x的方程a（x-x₁）（x-x₂）=n（其中m>n>0）也有两个整数解，则这两个整数解分别是．

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11. 已知关于x的方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根分别是 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = 8 - m$ ，若点P是二次函数 $y = x^{2} + b x - c$ 的图象与y轴的交点，过P作 $P Q ⊥ y$ 轴交抛物线于另一交点Q，则PQ的长为．

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三、解答题

12. 如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} (a > 0)$ 与直线 $y = x$ 相交于点O和点A ， $O A$ 截得的抛物线弓形的曲线上有一点P ．

（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，解答下列问题：

①求A点的坐标；

②连接 $O P$ ， $A P$ ，求 $△ O P A$ 面积的最大值；

③当 $△ O P A$ 的面积最大时，直线 $O P$ 也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点 $P^{'}$ ，连接 $O P^{'}$ ， $P^{'} P$ ，当 $△ O P^{'} P$ 的面积最大时，求这个 $△ O P^{'} P$ 的最大面积与②中 $△ O P A$ 的最大面积的比值；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中 $a = 1$ 的条件去掉后，其它条件不变，则 $△ O P^{'} P$ 的最大面积与 $△ O P A$ 的最大面积的比值是否变化？请说明理由．

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13. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计喷泉喷头的升降方案？

素材1

如图1，湖中有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下：

x（米）	0	2	3	4
y（米）	1	2	1.75	1

素材2

公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米．

问题解决

任务1

确定喷泉形状

结合素材1，求y关于x的表达式．

任务2

探究喷头升降方案

为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．

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14. 在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是 $\frac{5}{3}$ 米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处．小华此次投掷的成绩是多少米？

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四、综合题

15. 已知函数 $y_{1} = (x + m) (x - m - 1)$ ， $y_{2} = a x + m (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中.

(1)、若 $y_{1}$ 经过点（1，-2），求 $y_{1}$ 的函数表达式.

(2)、若 $y_{2}$ 经过点（1，m+1），判断 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 图象交点的个数，说明理由.

(3)、若y₁经过点（ $\frac{1}{2}$ ， 0)，且对任意x，都有 $y_{1} > y_{2}$ ，请利用图象求a的取值范围.

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16. 已知，如图抛物线 $y = a x^{2} + 3 a x + c (a > 0)$ 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧.点B的坐标为 $(1 ， 0)$ ， $O C = 3 O B$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形AOCD面积的最大值；

(3)、若点E在x轴上，点P在抛物线上.是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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17. 平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 与直线 $K B$ 交于点 $B (2 ， 0)$ ， $K (- 12 ， - 14)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)、如图1，连接 $B C$ ，点P是线段 $B K$ 上方抛物线上的一个动点，过点P作PZ $∥$ x轴交 $C B$ 于点Z，过点P作PQ $∥$ CB交直线 $K B$ 于点Q，求 $\frac{6}{5} \sqrt{5} P Q + P Z$ 的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，在（2）的条件下，将该抛物线向下平移 $\frac{3}{8}$ 个单位，向右平移3个单位，使得P点对应点 $P^{'}$ .点S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N，使以 $P^{'}$ 、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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