重庆市三峡名校联盟2022-2023学年高一上学期数学秋季联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} > 2^{x}$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 2^{x}$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} \leq 2^{x}$ C、 $\exists x \notin R$ ， $x^{2} > 2^{x}$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} \leq 2^{x}$

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2. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 1}$ 是幂函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上递减，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、2或 $- 1$ C、4 D、2

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3. $p ： s i n θ > 0 ， q ： θ$ 是第一象限角或第二象限角，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列散点图中，估计有可能用函数 $y = a + b l g x (b > 0)$ 来模拟的是（）．

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $s i n 25 ° = a$ ，则 $s i n 65 ° c o s 115 ° t a n 205 ° =$ （）

A、 $\frac{a^{2}}{\sqrt{1 - a^{2}}}$ B、 $- \frac{a^{2}}{\sqrt{1 - a^{2}}}$ C、 $- a^{2}$ D、 $a^{2}$

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6. 已知函数 $f (x + 1) = 2^{x + 1} - 2^{- 1 - x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $R$ 是单调递增 B、是奇函数，且在 $R$ 是单调递增 C、是偶函数，且在 $R$ 是单调递减 D、是奇函数，且在 $R$ 是单调递减

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7. 若 $f (x)$ 为奇函数，且 $x_{0}$ 是 $y = f (x) - 2 e^{x}$ 的一个零点，则 $- x_{0}$ 一定是下列哪个函数的零点（）

A、 $y = f (- x) e^{- x} - 2$ B、 $y = f (x) e^{x} + 2$ C、 $y = f (x) e^{x} - 2$ D、 $y = f (- x) e^{x} + 2$

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8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x ∈ R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 0.5] = - 1 ， [1.5] = 1$ ，已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 s i n (π x) + 1 ， x \in (0 ， \frac{5}{6}) \\ \frac{- 6 x + 7}{3 x + 1} ， x \in (\frac{5}{6} ， 3) \end{array}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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二、多选题

9. 下列函数中，定义域为 $(0 ， + ∞)$ 的函数是（）

A、 $y = l g x$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ D、 $y = e^{x}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $b > a > 0$ ， $c > 0$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < 1 \\ - x^{2} + 3 ， x \geq 1 \end{array}$ ，则（）

A、 $f [f (\sqrt{3})] = 2$ B、若 $f (x) = - 1$ ，则 $x = 2$ 或 $x = - 3$ C、 $f (x) < 2$ 的解集为 $(- \infty ， 0) \cup [1 ， + \infty)$ D、 $\forall x \in R ， a > f (x)$ ，则 $a \geq 3$

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12. 已知 $2^{x} = 3^{y} = 36$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x y = 2 (x + y)$ B、 $x y > 16$ C、 $x + y < 9$ D、 $x^{2} + y^{2} < 32$

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三、填空题

13. 请写出同时满足下列两个条件的函数 $f (x) =$ .
（1） $f (x)$ 在定义域内单调递增，（2） $f (x + y) = f (x) \cdot f (y)$

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14. 求 $2^{3 + l o g_{2} 5} - 2 7^{\frac{2}{3}} \times l o g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}$ 的值为.

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15. 对于正整数 $n$ ，函数 $f (x)$ 定义如下： $f (x) = {\begin{array}{l} | 3^{x + 2} - n | ， (x < 0) \\ | l o g_{2} (x + 4) - n | ， (x \geq 0) \end{array}$ 对于实数 $t$ ，记方程 $f (x) = t$ 的不同实数解的个数为 $g (t)$ ，求使得函数 $g (t)$ 的最大值为4的所有正整数 $n$ 的和为.

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16. 设时钟时针长 $5 c m$ ，时间经过 $4$ 小时 $30$ 分钟.①分针转了多少度.（用角度制表示）②时针尖端所走过的弧长为 $c m$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4}) ， x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值和对应 $x$ 的取值；

(3)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的单调递增区间.

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18. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点坐标原点，始边为 $x$ 的非负半轴，终边经过点 $(- 1 ， 2)$ .

(1)、求 $s i n α \cdot t a n α$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n (α + \frac{π}{2}) \cdot c o s (\frac{7 π}{2} - α) \cdot t a n (2 π - α) \cdot c o s (- \frac{3 π}{2} + α)}{s i n (2 π - α) \cdot t a n (- α - π) \cdot s i n (π + α)}$ 的值.

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19. 在①不等式 $l o g_{2} (x + 1) \leq 2$ 的解集为 $B$ ， ②不等式 $1 < 2^{x + 1} \leq 16$ 的解集为 $B$ .这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，并解决该问题.
问题：设 $A = {x | a - 1 < x \leq 2 a + 1}$

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $(∁_{R} A) ∩ B$ ；

(2)、若“ $x ∈ A$ ”是“ $x ∈ B$ ”的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x^{2} + a x + 3) ， (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = 4$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 的值域为 $[1 ， + \infty)$ ，求 $a$ 的值.

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21. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用 $10 x$ （单位：元）满足如下关系： $W (x) = {\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 2) ， 0 \leq x \leq 2 \\ 48 - \frac{48}{x + 1} ， 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，其他成本投入（如培育管理等人工费）为 $20 x$ （单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？

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22. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意的 $x ， y \in R$ ，恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，且 $x > 0$ 时，有 $f (x) > 0$

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、若 $f (- \frac{1}{2}) = - 1$ ，且对 $\forall t > 0$ ，都有 $f (\frac{25 t + 25}{t^{2} + 5 t + 5}) < f (k^{2} + k) + 4$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $f (1) = \frac{3}{2} ， g (x) = | 2^{x} - 1 |$ ，函数 $f [(g (x))^{2} - (m + 3) g (x) - 2 m] - 3 = 0$ 有三个不同的零点，求 $m$ 的取值范围.

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