重庆市三峡名校联盟2022-2023学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $A (- 1 ， - 4)$ ， $B (λ ， 2)$ 两点所在直线的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 7$ B、 $- 5$ C、 $- 2$ D、5

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2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆上一点 $P (x ， y)$ 到焦点 $F_{1}$ 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 若直线l的方向向量为 $\vec{a} = (2 ， 1 ， m)$ ，平面α的法向量为 $\vec{n} = (1 ， \frac{1}{2} ， 2)$ ，且 $l ∥ α$ ，则（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、4 D、 $\frac{5}{2}$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $S_{3} = S_{21}$ ，则 $S_{23} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若圆 $C_{1} ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上，则r的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2} - 1 ， \sqrt{2} + 1]$ B、 $[\sqrt{2} - 1 ， \sqrt{2}]$ C、 $[0 ， \sqrt{2}]$ D、 $(0 ， 1]$

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6. 5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少 $\frac{1}{6}$ ，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（）

A、 $\frac{10 \times 6^{8}}{6^{8} - 5^{8}}$ B、 $\frac{10 \times 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$ C、 $\frac{80 \times 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$ D、 $\frac{10 \times 6^{6}}{6^{8} - 5^{8}}$

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7. 已知直线l过点 $P (1 ， 3 ， 1)$ ，且方向向量为 $\vec{m} = (1 ， 0 ， - 1)$ ，则点 $A (1 ， - 1 ， - 1)$ 到l的距离为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、3

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8. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴正半轴交于点 $D$ ，与抛物线 $C$ 的准线 $l$ 交于点 $E$ .若 $| B F | = 2 | A F |$ ，则 $\frac{| A B |}{| D E |} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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二、多选题

9. 下列说法错误的是（）

A、过点 $A (- 2 ， - 3)$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线 $l$ 的方程为 $x + y = - 5$ B、直线 $2 (m + 1) x + (m - 3) y + 7 - 5 m = 0$ 必过定点 $(1 ， 3)$ C、经过点 $P (1 ， 1)$ ，倾斜角为 $θ$ 的直线方程为 $y - 1 = t a n θ (x - 1)$ D、直线 $k x - y - k - 1 = 0$ 和以 $M (- 3 ， 1)$ ， $N (3 ， 2)$ 为端点的线段相交，则实数 $k$ 的取值范围为 $- \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$

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10. 已知方程 $F$ ： $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{n} = 1 (m n \neq 0)$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、若 $m + n = 0$ ，则方程 $F$ 表示的图形是圆 B、若 $m n > 0$ ，则方程 $F$ 表示的图形是双曲线，且渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{\frac{n}{m}} x$ C、若 $m n < 0$ 且 $m + n \neq 0$ ，则方程 $F$ 表示的图形是椭圆 D、若 $0 < m < 1$ 且 $n < - 1$ ，则方程 $F$ 表示的图形是离心率为 $\sqrt{1 + \frac{m}{n}}$ 的椭圆

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11. 在数列 ${a_{n}}$ 中，其前 $n$ 的和是 $S_{n}$ ，下面正确的是（）

A、若 $S_{n} = 2 n^{2} - 3 n + 4$ ，则其通项公式 $a_{n} = 4 n - 5$ B、若 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则其通项公式 $a_{n} = \frac{1}{2} (n^{2} + n + 2)$ C、若 $a_{1} = 2 ， n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ，则其通项公式 $a_{n} = 2 n$ D、若 $a_{2} = 1$ ， $2 S_{n} = n a_{n}$ ，则其通项公式 $a_{n} = n - 1$

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，点P，E分别为AB， $A A_{1}$ 的中点，点M为直线 $C D_{1}$ 上的动点，点N为直线 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则（）

A、对任意的点N，一定存在点M，使得 $P M ⊥ D N$ B、向量 $\vec{P M}$ ， $\vec{A_{1} B}$ ， $\vec{D_{1} E}$ 共面 C、异面直线PM和 $A A_{1}$ 所成角的最小值为 $\frac{π}{4}$ D、存在点M，使得直线PM与平面 $D C C_{1} D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1} ： (a^{2} - 1) x + 3 y = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + (a + 1) y + 4 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为．

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $4 a_{1}$ ， $2 a_{4}$ ， $a_{7}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{3} + a_{5}}{a_{11} + a_{9}} =$ .

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15. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A C = A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = 2$ ， $M$ 为 $B B_{1}$ 的中点，则点 $B_{1}$ 到平面 $A C M$ 的距离为．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与C的右支交于A，B两点，若 $∠ F_{1} A F_{2} = ∠ A F_{2} F_{1}$ ， $| F_{2} B | = 2 | F_{2} A |$ ，则C的离心率为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 2$ ，前4项和 $S_{4} = 7$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{4} = a_{15}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的通项公式．

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18. 已知圆 $C$ 经过原点且与直线 $x - y - 4 = 0$ 相切，圆心 $C$ 在直线 $x + y = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过点 $(2 ， 1)$ ，并且被圆 $C$ 截得的弦长为2，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ，其中前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 5$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 3}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20. 如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右两个焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，左､右顶点分别为A､B，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过 $F_{2}$ 的动直线 $l$ 与椭圆C交于M､N两点，且 $△ M N F_{1}$ 的周长为8.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $P (4 ， 0)$ ，记 $△ M P F_{2}$ ､ $△ A N F_{2}$ 的面积记分别为 $S_{1}$ ､ $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / D C ， ∠ A D C = 9 0^{°} ， A B = A D = \frac{1}{2} D C = 2 ， P B = P D = 3 \sqrt{2}$ ， $B C ⊥ P D$ ．

(1)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、点 $M$ 为线段 $P C$ 上异于 $P ， C$ 的一点，若平面 $P B D$ 与平面 $B D M$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求点 $M$ 的位置．

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22. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $l_{1} ： x - m y - \frac{p}{2} = 0$ 与抛物线相交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点.

(1)、证明： $y_{1} y_{2}$ 为定值；

(2)、当 $p = 2$ 时，直线 $l_{2} ： x + \frac{1}{m} y - \frac{p}{2} = 0$ $(m \neq 0)$ 与抛物线相交于 $C (x_{3} ， y_{3}) ， D (x_{4} ， y_{4})$ 两点，其中 $y_{1} > 0$ ， $y_{3} < 0$ .是否存在实数 $m$ ，使得经过 $A ， C$ 两点的直线斜率为2，若存在求线段 $B D$ 的长度，若不存在说明理由.

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