云南省名校联盟2023届高三上学期数学12月份联合考试试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | x^{2} < 4} ， N = {x | 2 x \geq - 1}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | x \geq - \frac{1}{2}}$ D、 ${x | x > - 2}$

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2. 已知复数z满足 $(2 z + 3) i = 3 z$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{18}{13} i$ B、 $\frac{6}{13} i$ C、 $- \frac{18}{13} i$ D、 $- \frac{12}{13} i$

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3. 函数 $f (x) = l o g_{2} x$ ， $g (x) = l o g_{5} x$ ， $h (x) = l g x$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $h (x)$ 的图象所对应的编号依次为（）

A、①②③ B、③①② C、③②① D、①③②

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4. 今年入夏以来，南方多省市出现高温少雨天气，持续的干旱天气导致多地湖泊及水库水位下降.已知某水库水位为海拔 $50 m$ 时，相应水面的面积为 $160 k m^{2}$ ；水位为海拔 $41 m$ 时，相应水面的面积为 $140 k m^{2}$ .将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 $50 m$ 下降到 $41 m$ 时，减少的水量约为（ $\sqrt{14} \approx 3.7$ ）（）

A、 $1.0 \times 1 0^{9} m^{3}$ B、 $1.2 \times 1 0^{9} m^{3}$ C、 $1.3 \times 1 0^{9} m^{3}$ D、 $1.4 \times 1 0^{9} m^{3}$

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5. 某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（）

A、18种 B、36种 C、60种 D、108种

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6. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径 $A B = 6$ ，深度 $M O = 2$ ，信号处理中心 $F$ 位于焦点处，以顶点 $O$ 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系 $x O y$ ，若 $P$ 是该拋物线上一点，点 $Q (\frac{15}{8} ， 2)$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 明朝朱载培发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，且应钟和仲吕的波长分别是 $a$ ， $b$ ，则大吕和夹钟的波长之和为（）

A、 $a + b$ B、 $a b$ C、 $\sqrt[3]{a^{2} b} + \sqrt[3]{a b^{2}}$ D、 $\frac{\sqrt[3]{a^{2} b} + \sqrt[3]{a b^{2}}}{a}$

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8. 如图，一块边长为 $2 \sqrt{3} d m$ 的正三角形铁片上有三块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器，则容器的容积最大为（）

A、 $\frac{2}{3} d m^{3}$ B、 $\frac{1}{2} d m^{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4} d m^{3}$ D、 $\frac{1}{4} d m^{3}$

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二、多选题

9. 某商家为了了解人们消费方式的变化情况，收集并整理了该商家2022年1月份到8月份线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图.根据折线图，下列结论正确的有（）

A、该商家这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值 B、该商家这8个月中，线下收入数据的中位数是6.75 C、该商家这8个月中，线上收入与线下收入相差最大的月份是3月 D、该商家这8个月中，每月总收入不少于17万元的频率为 $\frac{1}{4}$

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则（）

A、P的纵坐标为 $\sqrt{2}$ B、 $| P F_{1} | = 2 \sqrt{3} + 2$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 \sqrt{3} + 4$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为4

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11. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $P A = A B = 2$ ， E，F分别为PD，PB的中点，则（）

A、 $E F ⊥$ 平面PAC B、 $A B / /$ 平面EFC C、点F到直线CD的距离为 $\sqrt{6}$ D、点A到平面EFC的距离为 $\frac{4 \sqrt{11}}{11}$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n ω x - \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上恰有3个零点，则（）

A、 $\frac{7}{6} \leq ω \leq \frac{5}{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{7} ， \frac{11 π}{10}]$ 上单调递减 C、函数 $g (x) = f (x) - \sqrt{2}$ 在 $[\frac{π}{2} ， 2 π]$ 上最多有3个零点 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， 2 π]$ 上恰有2个极值点

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $| \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} | = 3$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ .

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14. 已知 $x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} x y = 1$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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15. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 6 = 0$ ，点A，B圆 $C_{2}$ 上，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，线段AB的中点为D，则直线OD（O为坐标原点）被圆 $C_{1}$ 截得的弦长的取值范围是.

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16. 写出曲线 $y = e^{| x |}$ 过坐标原点的切线方程：， .

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $2 a s i n B = \sqrt{2} b$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a = \sqrt{6}$ ， $\sqrt{2} c - b = \sqrt{3}$ ，求c.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = λ a_{n} + 2$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 8$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${n \cdot a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面ABC是正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面ABC，E，F分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E F ∥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ .

(2)、若 $A C = 2$ ， $∠ A C C_{1} = 6 0^{∘}$ ， $\vec{C_{1} G} = 2 \vec{G C}$ ，求二面角 $A - E G - F$ 的余弦值.

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20. 新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：
方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.
方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X.

(1)、求X的数学期望 $E (X)$ ；

(2)、如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $H (1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ 是 $C$ 上一点.

(1)、求 $C$ 的方程.

(2)、设 $A$ ， $B$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右顶点，过点 $D (1 ， 0)$ 作斜率不为0的直线 $l$ ， $l$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ 与直线 $B Q$ 交于点 $M$ ，记 $A P$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $B Q$ 的斜率为 $k_{2}$ .证明：① $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；②点 $M$ 在定直线上.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数．

(1)、若关于 $x$ 的方程 $f^{'} (x) = 0$ 有两个不同的正实根，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq (e - 2) x + a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．（参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ）

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