陕西省商洛市2022-2023学年高三上学期理数12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq 2 - x \leq 4}$ ， $B = {x | 3 x - x^{2} > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < 0}$ B、 ${x | - 4 \leq x < 0}$ C、 ${x | 0 < x \leq 2}$ D、 ${x | 0 < x \leq 3}$

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2. 设 $z = 1 + 2 i$ ，则 $z i + \bar{z} - i =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $3 - 2 i$ D、 $3 - 4 i$

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3. 已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{2 - x}{x + 1}}$ ，则函数 $g (x) = f (1 - x)$ 的定义域为（）

A、 $(- 2 ， 1]$ B、 $[- 2 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 2]$ D、 $[- 1 ， 2)$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 2) ， \vec{b} = (1 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向共线，则 $m =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- 2$ D、2

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5. 《三字经》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成为器物”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 3 \geq 0 \\ 2 x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = x + y - 1$ 的最大值是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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7. 函数 $f (x) = \frac{c o s x - x^{2}}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $l o g_{3} a = \frac{1}{2} ， b^{3} = \frac{1}{2} ， c = c o s 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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9. 若函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + 3 x$ 在 $(\frac{1}{3} ， 2)$ 上存在单调递增区间，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 5 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 5)$ D、 $(- \infty ， - 3)$

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10. 在各项不全为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，且 $S_{99} = 0 ， S_{k} = S_{90} (k \neq 90)$ ，则正整数 $k$ 的值为（）

A、11 B、10 C、9 D、8

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11. 若定义域为R的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2)$ 为偶函数，且对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [2 ， + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，均有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) < f (7)$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， 7)$ B、 $(0 ， 7)$ C、 $(- 3 ， 5)$ D、 $(- 1 ， 5)$

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12. 将函数 $f (x) = 2 c o s x$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ 倍，纵坐标向下平移1个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3}] \cup [1 ， \frac{4}{3}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{3}] \cup [1 ， \frac{11}{9}]$ C、 $(0 ， 1] \cup [\frac{11}{9} ， \frac{4}{3}]$ D、 $(0 ， 1] \cup (1 ， 2]$

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二、填空题

13. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = - 2 ， a_{7} = - 4$ ，则 $a_{5} =$ .

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14. 函数 $f (x) = \sqrt{5} c o s 2 x + 8 s i n x ， x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 的极值点为 $x_{0}$ ，则 $t a n (x_{0} + \frac{π}{4}) =$ .

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15. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，中心为 $O$ ，四个半圆的圆心均为正方形 $A B C D$ 各边的中点（如图2），若 $P$ 在 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P O} =$ .

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16. 已知正实数 $a ， b ， c$ 满足 $a^{2} + a b + b^{2} - 12 c^{2} = 0$ ，则当 $\frac{a + b}{c}$ 取得最大值时， $a - b^{2} + c$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知一次函数 $f (x)$ 满足 $f (f (x)) = x + 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $a f (x) > \sqrt{x}$ 恒成立，求a的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n C} = \frac{1}{s i n B}$ .

(1)、证明： $b^{2} = a c$ ；

(2)、求角B的最大值，并说明此时 $△ A B C$ 的形状.

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19. 已知 $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < ϕ < \frac{π}{2}$ ，向量 $\underset{a}{\to} =$ $(\sqrt{3} ， s i n \frac{ω x + ϕ}{2})$ ， $\underset{b}{\to} =$ $(s i n (ω x + ϕ) ， 2 s i n \frac{ω x + ϕ}{2})$ ，函数 $f (x) =$ $\underset{a}{\to} \cdot \underset{b}{\to} - 1$ ， $f (x)$ 的图像关于 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称，且当 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 恒成立时， $| x_{1} - x_{2} |_{m i n} = \frac{π}{2}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 的角 $A ， B ， C$ 所对边依次为 $a ， b ， c$ ，当 $x = A$ 时， $f (x)$ 取得最大值且 $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积得取值范围.

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 2 a_{n}^{2} + a_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1} a_{3}} + \frac{1}{a_{2} a_{4}} + \frac{1}{a_{3} a_{5}} + \frac{1}{a_{4} a_{6}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n - 1} a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}} < 3$ .

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x l n x - \frac{x^{3}}{3} + x - 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处的切线为 $l_{1}$ ，函数 $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ 的图象在点 $B$ 处的切线为 $l_{2}$ ， $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{a x^{2}} - a x^{2} - l n x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) \geq 1$

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为1，求 $a$ 的取值范围.

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