山西省三重教育2023届高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1} ， B = {x | x = 1 - 3 n ， n \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 3 ， - 1}$ B、 ${- 2 ， 1}$ C、 ${- 3 ， - 1 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 0}$

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2. 已知 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $| \bar{z} - 2 i | =$ （）

A、1 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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3. 圆锥的母线长为2，侧面积为 $2 π$ ，若球 $O$ 的表面积与该圆锥的表面积相等，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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4. 书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} \neq 0$ ，且 $S_{9} = 2 S_{7}$ ，则（）

A、 $a_{2} a_{3} < 0$ B、 $a_{3} a_{4} < 0$ C、 $a_{4} a_{5} < 0$ D、 $a_{5} a_{6} < 0$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为A，两条渐近线为 $l_{1} ， l_{2}$ .设 $F$ 关于 $l_{1}$ 的对称点为 $P$ ，且线段 $A P$ 的中点恰好在 $l_{2}$ 上，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{17} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{21} - 1}{2}$

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7. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (2 - x) = f (3 + x)$ ，且.当 $x \in [- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ 时， $f (x) = t a n x$ ，则 $f (\frac{π}{2}) + f (π) =$ （）

A、 $\frac{c o s 1}{s i n 2 c o s 3}$ B、 $\frac{c o s 2}{s i n 2 c o s 4}$ C、 $\frac{s i n 5}{c o s 2 c o s 3}$ D、 $\frac{s i n 6}{s i n 2 s i n 4}$

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8. 设 $a = 2 e^{- 0.1} ， b = 2 - l n 1.21$ ，则（）

A、 $a \notin (1.8 ， 1.81) ， b \notin (1.8 ， 1.81)$ B、 $a \notin (1.8 ， 1.81) ， b \in (1.8 ， 1.81)$ C、 $a \in (1.8 ， 1.81) ， b \notin (1.8 ， 1.81)$ D、 $a \in (1.8 ， 1.81) ， b \in (1.8 ， 1.81)$

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二、多选题

9. 为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 进行分析，其中 $x_{i}$ 表示减重质量（单位：千克）， $y_{i}$ 表示每行驶一百千米降低的油耗（单位：升）， $i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n$ ，由此得到的线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a} (\hat{b} > 0)$ .下列说法正确的是（）

A、 $\hat{a}$ 的值一定为0 B、 $\hat{b}$ 越大，减重对降低油耗的作用越大 C、残差的平方和越小，回归效果越好 D、至少有一个数据点在回归直线上

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10. 如图， $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 是底面为正六边形的直棱柱，则下列直线与直线 $A_{1} B_{1}$ 垂直的是（）

A、 $A E$ B、 $A_{1} E$ C、 $E_{1} F$ D、 $B D_{1}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} > 2 ， a_{n + 1} = a_{n} - \frac{1}{n (n + 1)}$ ，则（）

A、 $2 a_{n + 1} > a_{n} + a_{n + 2}$ B、 $3 a_{n + 2} > 2 a_{n}$ C、 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} > n + 1$ D、 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} > n + l n (n + 1)$

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12. 已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $P$ 为圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的点，则（）

A、 $| P A | + | P B |$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ B、 $| P A | - | P B |$ 的最大值为 $4$ C、 $| P A | \cdot | P B |$ 的最大值为 $\sqrt{65}$ D、 $\frac{1}{{| P A |}^{2}} + \frac{1}{{| P B |}^{2}}$ 的最大值为 $\frac{26}{25}$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为单位向量，且 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{3}$ ，则 $| 3 \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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14. 已知 $a$ 为常数， $n \in N^{*}$ ， ${(3 x + \frac{a}{x})}^{n}$ 的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为 $32$ ，则展开式中 $x$ 的系数为（用数字作答）.

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15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为棱 $A B ， B_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $A_{1} - D E F$ 的体积为.

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16. 过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点的直线与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点.设 $D$ 为线段 $A B$ 的中点， $a > 0$ ，点 $P (a ， 1)$ ，若直线 $D P ∥ x$ 轴，且 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ，则 $a =$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{3} = 5 ， {a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 是公差为1的等差数列.

(1)、证明： ${a_{n} + n}$ 是等比数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都相等，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影恰好是等边 $△ A B C$ 的中心.

(1)、证明：四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形；

(2)、设 $D ， E$ 分别为 $C C_{1} ， B C$ 的中点，求二面角 $A - A_{1} E - D$ 的正弦值.

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19. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c}$ .

(1)、若 $a + 2 b = 3 c$ ，求 $c o s C$ ；

(2)、若 $A + B = 2 C$ ，证明： $△ A B C$ 是等边三角形.

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20. 设随机变量 $X ∼ B (n ， p)$ ，若 $n ⩾ 10$ ，且 $p ⩽ 0.1$ ，则 $P (X = k) \approx \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!} (k = 0 ， 1 ， ⋯ ， n)$ ，其中 $λ = E (X)$ ， $e = 2.71828 ⋯ ， e^{2} = 7.38905 ⋯ ， e^{3} = 20.08553 ⋯ ， e^{4} = 54.59815 ⋯$ ．某工厂对一批零件进行抽样检测，根据经验可知每个零件是次品的概率均为 $0.02$ ．

(1)、若从这批零件中抽取2个进行检测，求其中次品数 $ξ$ 的分布列及数学期望；

(2)、现对这批零件抽取100个进行检测，若其中次品数多于3个，则这批零件为不合格产品．估算这批零件为不合格产品的概率（精确到 $0.01)$ ．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1 ， 0)$ ．过 $F$ 且斜率为正数的直线交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点， $P$ 关于 $x$ 轴， $y$ 轴的对称点分别为 $R ， S$ ，且 $| R F | + | S F | = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $Q R$ 交 $x$ 轴于点 $T$ ，直线 $S T$ 与 $C$ 的另一交点为 $U$ ，证明： $∠ R F S = ∠ Q F U$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x + 1$ .

(1)、若 $| f (x) | ⩽ (x - 1)^{2}$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $s ， t$ ，证明： $\frac{3}{t} - \frac{1}{s} - s^{3} < e^{1 - t} < s$ .

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