山东省威海市2022-2023学年高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | y = x^{2}}$ ， $B = {(x ， y) | y = x + 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 4}$ B、 $[0 ， + ∞)$ C、 ${- 1 ， 2}$ D、 ${(- 1 ， 1) ， (2 ， 4)}$

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2. 已知复数z是纯虚数， $\frac{1 + z}{1 - i}$ 是实数，则 $\bar{z} =$ （）

A、－ $i$ B、 $i$ C、－2 $i$ D、2 $i$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = - 7$ ， $S_{6} = - 63$ ，则公比 $q =$ （）

A、－2 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影的数量为 $2 + \sqrt{3}$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. $\frac{c o s 1 0^{∘}}{2 s i n 1 0^{∘}} - 2 c o s 1 0^{∘} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得 $1$ 分，否则得 $0$ 分．若每场比赛之前彼此不知道对方所用之马，则比赛结束时，齐王得 $2$ 分的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为 $A_{1}$ ， O为坐标原点，若 $\vec{B O} = 2 \vec{A_{1} A}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = \frac{3 π}{8}$ ，设函数 $f (x) = (4 c o s^{2} \frac{x}{2} - 2) s i n x + c o s 2 x + 2$ ，记 $y_{n} = f (a_{n})$ ，则数列 ${y_{n}}$ 的前9项和为（）

A、0 B、10 C、16 D、18

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二、多选题

9. 甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（）

A、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 两两互斥 B、 $P (B | A_{2}) = \frac{1}{3}$ C、 $A_{3}$ 与B是相互独立事件 D、 $P (B) = \frac{1}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = | s i n x | c o s x + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、 $f (x)$ 在 $(- π ， - \frac{3}{4} π)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ D、 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $x = 3 π$ 对称

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11. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $B D_{1}$ 的平面 $α$ 交棱 $A A_{1}$ 于点E，交棱 $C C_{1}$ 于点F，则（）

A、 $\vec{B F} = \vec{E D_{1}}$ B、存在E，F，使得 $E F ⊥$ 平面 $D B B_{1} D_{1}$ C、四边形 $B F D_{1} E$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{6}$ D、平面 $α$ 分正方体所得两部分的体积相等

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - | x + 1 | ， x < 0 \\ f (x - 2) ， x \geq 0 \end{array}$ ，则（）

A、 $f (- 4) + f (2021) = 0$ B、 $f (l o g_{3} 6) < f (l o g_{5} 10) < f (l o g_{6} 12)$ C、若函数 $g (x) = f (x) - k x - 1$ 恰有 $3$ 个零点，则 $k \in (- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{4})$ D、当 $x \in (2 k - \frac{3}{2} ， 2 k - \frac{1}{2}) (k \in N)$ 时， $f (x) > \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为．

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14. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 8 x$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，点 $M (1 ， 1)$ ，若A，B分别是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点，则 $| A M | + | A B |$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = x (e^{x} + 1)$ ， $g (x) = (x + 1) l n x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = m (m > 1)$ ，则 $\frac{x_{1} + x_{1} x_{2}}{l n m}$ 的最小值为．

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A C ⊥ C B$ ， $P A = A C = B C = 4$ ．以A为球心，表面积为 $36 π$ 的球面与侧面PBC的交线长为．

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四、解答题

17. 在 $△$ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $B = 60 °$ ， $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，延长BC至D，使 $B D = 7$ ， $△ A C D$ 的面积为 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ ．

(1)、求AB的长；

(2)、求 $△ A C D$ 外接圆的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{2} - a_{1}} + \frac{2}{a_{3} - a_{2}} + \frac{3}{a_{4} - a_{3}} + ⋯ + \frac{n}{a_{n + 1} - a_{n}} = 2^{n + 1} - 2$ ．

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $B C = 2 A D = 2 C D = \frac{4}{3} A P = 4$ ， E为PC的中点，点F在PD上且 $P F = 3 F D$ ．

(1)、求证： $B D ∥$ 平面AEF；

(2)、求二面角 $E - A F - D$ 的余弦值．

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20. 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p， $\frac{1}{3}$ ．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．

(1)、求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；

(2)、设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 $f (p)$ ．求p为何值时， $f (p)$ 取得最大值．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ， F到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线 $x = t$ 与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得 $| \vec{F M} + \vec{F N} | = | \vec{F M} - \vec{F N} |$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} + a x + 1 - a)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $f (m) > f (n) > f (z) = 1$ ，试比较 $l n m n + z e^{z}$ ， $l n m z + n e^{n}$ ， $l n n z + m e^{m}$ 的大小，并说明理由．

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