青铜鸣2022-2023学年高二上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知直线 $l ： y = k x$ 上有点 $(c o s 2 ， s i n 2)$ ，则l的倾斜角 $α$ 为（）

A、 $π - 2$ B、 $- 2$ C、 $2 - \frac{π}{2}$ D、2

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{30} - S_{20} = 100$ ，则 $S_{50} =$ （）．

A、200 B、300 C、500 D、1000

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3. 在四面体 $O A B C$ 中， $O A = 2 ， O B = 3 ， O C = 4 ， ∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 9 0^{∘} ， \vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，则点B到平面 $O M A$ 的距离为（）

A、 $\frac{24 \sqrt{73}}{73}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{19 \sqrt{83}}{83}$

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4. 已知直线l过点 $M (1 ， 3)$ ，且分别交两直线 $y = x ， y = - x$ 于x轴上方的 $A ， B$ 两点，O点为坐标原点，则 $△ A O B$ 面积的最小值为（）

A、8 B、9 C、 $3 \sqrt{10}$ D、20

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5. 已知初中学过的反比例函数的图象是非标准状况下的双曲线，根据图象的形状及学过的双曲线的相关知识，推断曲线 $y = \frac{1}{x}$ 的一个焦点坐标是（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ C、 $(2 ， 2)$ D、 $(2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$

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6. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q (q > 1)$ ，数列共6项，和为63，前3项和与后3项和的积为392，则 $q =$ （）．

A、 $3 \sqrt{7}$ B、2 C、 $\frac{7}{3}$ D、2或 $\frac{7}{3}$

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7. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ D A B = 60 °$ ，且 $A B = A D = A A_{1} = 2 ， A C_{1}$ 交平面 $A_{1} B D$ 于点M，则 $| C_{1} M | =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$

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8. 如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有不同于原点的三点A，B，C，直线 $A B$ 过焦点F， $k_{A B} + k_{A C} = 0$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，直线 $A C$ 交x轴于点 $M (m ， 0)$ ，则 $m =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多选题

9. 已知点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 在 $⊙ O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 内，则下列表述正确的是（）

A、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} < 1$ B、直线 $x_{0} x + y_{0} y = 1$ 与圆相交 C、过点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 的弦长最小值为 $2 \sqrt{1 - x_{0}^{2} - y_{0}^{2}}$ D、 $⊙ O^{'} ： x (x - x_{0}) + y (y - y_{0}) = 0$ 与 $⊙ O$ 相内切

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10. 在三棱锥 $O - A B C$ 中， $M ， N ， P ， Q$ 四点分别为棱 $O A ， A B ， B C ， O C$ 的中点，则以下表述正确的是（）

A、若 $\vec{O A} \cdot \vec{B C} = 0 \cdot \vec{O B} \cdot \vec{A C} = 0$ ，则 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} = 0$ B、 $\vec{M N} = \vec{Q P}$ C、若 $| \vec{O B} | = | \vec{A C} |$ ，则 $\vec{M P} \cdot \vec{N Q} = 0$ D、 $\vec{A M} - \vec{A P} = \vec{A N} - \vec{A Q}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{a_{n}} ， n \in N^{*}$ ，则（）

A、 $a_{2 n} > a_{2 n + 1}$ B、 $a_{2 n + 2} > a_{2 n}$ C、 $a_{n} a_{n + 1} \geq 2$ D、 $a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n} < 100$ 的n的最大值为10

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12. 以下为自然数从小到大依次排成的数阵：
1
2    3
4    5    6    7
8    9    10   11    12    13    14    15
……
第 $n$ 行有 $2^{n - 1}$ 个数，则（    ）．

A、该数阵第 $n$ 行第一个数为 $2^{n - 1}$ B、该数阵第 $n$ 行所有数的和为 $2^{2 n - 3} + 2^{n - 2}$ C、该数阵第 $n$ 行最后一个数为 $2^{n} - 1$ D、若数阵前 $n$ 行总和为 $B_{n}$ ， $B_{n} < 2023$ ，则 $n$ 的最大值为7

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三、填空题

13. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $λ a_{n} + S_{n} = 2 + λ$ ，且数列 ${a_{n}}$ 单调递减，则 $λ$ 的取值范围是．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左焦点为F，过F且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线交两渐近线于x轴上方的不同两点C，D，且 $| O D | = 2 | O C |$ ，则 $k =$ ．

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15. 台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边 $B C$ ， $C D$ 两次反弹后击打目标球N，点M到 $C D ， B C$ 的距离分别为 $200 c m ， 60 c m$ ，点N到 $C D ， B C$ 的距离分别为 $80 c m ， 120 c m$ ，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则 $t a n θ =$ ．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B，椭圆上有点M， $∠ A M B = 120 °$ ， $| A M | \cdot | B M | = a^{2}$ ，则椭圆的离心率为．

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四、解答题

17. 已知 $⊙ O ： x^{2} + y^{2} = 9 ， ⊙ M ： (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = 25$ ，两圆交于 $A ， B$ 两点，两圆的一条公切线段 $| P Q | = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $| A B |$ 的值；

(2)、求点 $(1 ， 1)$ 到直线 $a x + b y + \sqrt{2} = 0$ 距离的最大值．

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18. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 ， B C = 2$ ， M为 $C C_{1}$ 中点， $B M ⊥ A_{1} C$ ．

(1)、求异面直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $D M$ 所成角的余弦值；

(2)、 $P ， Q$ 分别为直线 $A B_{1} ， B M$ 上的点，求 $| P Q |$ 的最小值．

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19. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， O点为坐标原点，过点 $M (4 ， 0)$ 的直线交抛物线于A，B两点， $∠ A O B = 90 °$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、以点M为圆心的圆与抛物线有四个交点分别为P，Q，S，T，当等腰梯形 $P Q S T$ 的一条对角线的斜率为2时，求圆M的半径．

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20. 在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} = A B = A C = \frac{1}{2} A_{1} C_{1} = 2$ ， $V_{B_{1}} - A_{1} C C_{1} = \frac{16}{3}$ ．

(1)、证明： $C C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $C - B_{1} C_{1} - A$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有点 $P (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0)$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 $M ， N$ 满足 $k_{Q M} + k_{Q N} = 1$ ，求证：直线 $M N$ 恒过定点．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{7}{5}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 4}{2 a_{n} - 5}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明：数列 ${\frac{2 - a_{n}}{a_{n} - 1}}$ 是等比数列；

(2)、证明： $a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{n} < 2$ ．

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