辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3 x^{2} - 4 x - 15 \leq 0}$ ， $B = {x | π^{- x} < 1}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = [0 ， 3]$ B、 $A \cup B = [- \frac{5}{3} ， + \infty)$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $A \cup B = R$

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2. 设 $a \in R$ ，若复数 $\frac{a + i}{1 - i}$ （其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则 $a =$ （）

A、0 B、–1 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知 $s i n θ = \frac{1}{5}$ ，则 $s i n (2 θ - \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{23}{25}$ D、 $- \frac{23}{25}$

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4. 设 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{\frac{1}{3}} 2$ ， $c = 2^{- 0.1}$ ，则a､b､c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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5. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该屋顶的体积约为（）

A、 $12 \sqrt{2} π$ B、16π C、18π D、 $18 \sqrt{2} π$

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6. 已知双曲线 $x^{2} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{5} x$ ，则 $m =$ （）

A、5 B、 $- 5$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- 25$

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7. 已知直线 $l$ ： $x + m y + n = 0$ 既是曲线 $y = l n x$ 的切线，又是曲线 $y = e^{x - 2}$ 的切线，则 $m + n =$ （）

A、0 B、 $- 2$ C、0或 $e$ D、 $- 2$ 或 $- e$

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8. 已知 $f (x) = - \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{3} a x^{3} + 2 x^{2} - 3$ ， $f^{'} (- 1) = - f^{'} (1)$ ， $g (x) = | f^{'} (x) - k | - 1$ ，若函数 $g (x)$ 有且只有两个零点，则实数k的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - \frac{19}{3}) \cup (\frac{19}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{15}{3}) \cup (\frac{15}{3} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{13}{3} ， \frac{15}{3})$ D、 $(- \frac{15}{3} ， \frac{19}{3})$

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二、多选题

9. 数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{3} = 7$ B、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 2 n - 1$ D、 $S_{n} = 2^{n + 1} - n - 1$

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10. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且 $| A F |$ 的最小值为1，M是线段AB的中点， $P (2 ， 3)$ 是平面内一定点，则（）

A、 $p = 2$ B、若 $| A F | + | B F | = 8$ ，则M到x轴距离为3 C、若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $| \vec{A B} | = 3$ D、 $| A P | + | A F |$ 的最小值为4

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11. 设函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (ω x - \frac{π}{3}) - 1 (ω ＞ 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2 ， {| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = π$ ，则 $ω = 1$ B、存在 $ω \in (0 ， 1)$ ，使得 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称 C、若 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{19}{12} ， \frac{25}{12})$ D、 $\forall ω \in (0 ， 1)$ ， $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N，P分别是 $C_{1} D_{1}$ ， $C_{1} C$ ， $A_{1} A$ 的中点，则（）

A、M，N，B， $D_{1}$ 四点共面 B、异面直线 $P D_{1}$ 与MN所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D、三棱锥 $P - M N B$ 的体积为 $\frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3} ， | \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 6$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = x l n x + m x + 1$ 的零点恰好是 $f (x)$ 的极值点，则 $m =$ .

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15. 已知函数c $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x - 3 ， x \geq a ， \\ x - 2 ， x < a ， \end{array}$ 若存在实数 $m$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 恰有三个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M (3 ， 0) ， N (\frac{3}{2} ， 0)$ ，直线 $l ： (2 m + 1) x - (4 m$ -1） $y + m - 1 = 0 (m \neq 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P M | = 2 | P N |$ ，则动点 $P$ 的轨迹 $Γ$ 的方程为，若 $Γ$ 的对称中心为 $C ， l$ 与 $Γ$ 交于 $A ， B$ 两点，则的方程为 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，现有如下三个条件分别为：条件① $a_{5} = 5$ ；条件② $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ ；条件③ $S_{2} = - 4$ ；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.
您选择的条件是____和____.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，且 $\frac{c o s B}{c o s C} = \frac{b}{2 a - c}$ .

(1)、求B

(2)、若 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，求 $B M$ 的最小值，并判断此时 $△ A B C$ 的形状.

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19. 据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为 $\frac{1}{6}$ ， $\frac{2}{5}$ ， $n$ ，其中 $0 < n < 1$ ．

(1)、若 $n = \frac{1}{3}$ ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

(2)、强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求 $n$ 的范围．

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20. 如图1，矩形 $P A B C$ 中， $P C = 3 \sqrt{3}$ ， $P A = \sqrt{6}$ ， $D$ 为 $P C$ 上一点且 $C D = 2 D P$ .现将 $△ P A D$ 沿着 $A D$ 折起，使得 $P D ⊥ B D$ ，得到的图形如图2.

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求二面角 $P - A B - D$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且点 $(1 ， - \frac{3}{2})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，椭圆 $C$ 的左､右顶点分别为 $A ， B$ ，点 $M ， N$ 是椭圆上异于 $A ， B$ 的不同两点，直线 $B N$ 的斜率为 $k (k \neq 0)$ ，直线 $A M$ 的斜率为 $3 k$ ，求证：直线 $M N$ 过定点，并求出此定点坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = e \cdot e^{x} - \frac{2}{x} + 1$ ， $g (x) = \frac{l n x}{x} + 2$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的极值；

(2)、当x>0时，证明： $f (x) ≥ g (x)$

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