辽宁省六校2022-2023学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 < 0 ， x \in Z}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 若直线l的倾斜角 $α$ 满足 $0 \leq α < \frac{2 π}{3}$ ，且 $α \neq \frac{π}{2}$ ，则其斜率k满足（）．

A、 $- \sqrt{3} < k \leq 0$ B、 $k > - \sqrt{3}$ C、 $k \geq 0$ ，或 $k < - \sqrt{3}$ D、 $k \geq 0$ ，或 $k < - \frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 若向量 $\vec{a} =$ （x，4，5）， $\vec{b} =$ （1，﹣2，2），且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则x＝（　　）

A、3 B、﹣3 C、﹣11 D、3或﹣11

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4. 若直线 $x - y = 2$ 被圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $0$ 或 $4$ B、 $1$ 或 $3$ C、 $- 2$ 或 $6$ D、 $- 1$ 或 $\sqrt{3}$

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5. ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中常数项为（）

A、 $\frac{35}{16}$ B、 $\frac{35}{8}$ C、 $\frac{35}{4}$ D、105

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6. 已知直线 $l$ ： $x - y + 3 = 0$ 与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P (1 ， 4)$ 是弦 $A B$ 的中点，则双曲线 $C$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm 4 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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7. 某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）

A、96种 B、84种 C、78种 D、16种

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8. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 做倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 的直线与椭圆相交于A，B两点，若 $\vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B} ，$ ，则椭圆C的离心率e为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$

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二、多选题

9. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 4 = 0$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，下列说法正确的为（）

A、两圆有两条公切线 B、直线 $A B$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ C、线段 $A B$ 的长为 $\frac{6}{5}$ D、圆 $O$ 上点 $E$ ，圆 $M$ 上点 $F$ ， $| E F |$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 3$

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10. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $E$ ， $O$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 在正方体内部且满足 $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A A_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、直线 $B B_{1}$ 与平面 $A_{1} B C D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ C、直线 $O E$ 与平面 $A_{1} B C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、点 $P$ 到直线 $A D$ 的距离为 $\frac{5}{6}$

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11. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的右焦点 $F$ 作直线 $l$ 与双曲线交于A，B两点，使得 $| A B | = 6$ ，若这样的直线有且只有两条，则实数 $a$ 的取值范围可以是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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12. 直线l与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 相交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $O A ⊥ O B$ ，则（）

A、直线l斜率为定值 B、直线l经过定点 C、 $△ O A B$ 面积最小值为4 D、 $y_{1} y_{2} = - 4$

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三、填空题

13. 若 $(2 x + \sqrt{3})^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $(a_{0} + a_{2} + a_{4})^{2} - (a_{1} + a_{3})^{2}$ 的值为

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x \leq 4 ， \\ l o g_{2} x ， x > 4 . \end{array}$ 若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a ， a + 2)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是．

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15. 已知三棱锥P－ABC，PA⊥面ABC， $P A = 2$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ， $B C = \sqrt{3}$ ．则三棱锥P－ABC外接球表面积为．

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16. 过x轴上点 $P (a ， 0)$ 的直线与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 交于A，B两点，若 $\frac{1}{{| A P |}^{2}} + \frac{1}{{| B P |}^{2}}$ 为定值，则实数a的值为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $A (5 ， - 2)$ ， $B (7 ， 4)$ ，且 $A C$ 边的中点M在 $y$ 轴上，BC边的中点N在 $x$ 轴上.

(1)、求AB边上的高CH所在直线方程；

(2)、设过点C的直线为 $l$ ，且点A与点B到直线 $l$ 距离相等，求 $l$ 的方程.

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18. 设 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 所对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{c s i n C}{s i n A} - c = \frac{b s i n B}{s i n A} - a$ ， $b = 2$ ．

(1)、若 $a = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若 $A C$ 边的中点为 $D$ ，且 $B D = \frac{3}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形， $A D / / B C$ ， BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为BS上一点，且BE＝2ES．

(1)、证明：直线 $S D / /$ 平面ACE；

(2)、求直线AS与平面ACE所成角的余弦值．

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20. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，动点 $E$ 与两点 $A (- 3 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 连线斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且满足 $k_{1} k_{2} = - \frac{4}{9}$ ，记动点 $E$ 的轨迹为曲线 $Γ$ .

(1)、求曲线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M$ 为曲线 $Γ$ 在第一象限内的点，且 $C (0 ， - 2)$ ，若 $M A$ 交 $y$ 轴于点 $P ， M C$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，试问：四边形 $A P Q C$ 的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 如图，在四边形 $P D C B$ 中， $P D / / B C ， B A ⊥ P D$ 于交 $P D$ 点 $A ， P A = A B =$ $B C = 2$ ， $A D = 1$ .沿 $B A$ 将 $△ P A B$ 翻折到 $△ S A B$ 的位置，使得二面角 $S - A B - P$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、证明：平面 $S B A ⊥$ 平面 $S A D$ ；

(2)、在线段 $S C$ 上（不含端点）是否存在点 $Q$ ，使得二面角 $Q - B D - C$ 的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{31}}{31}$ ，若存在，确定点 $Q$ 的位置，若不存在，请说明理由.

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (2 ， 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P$ 是双曲线 $C$ 的右支上异于顶点 $B$ 的任意点，点 $Q$ 在直线 $x = \frac{1}{2}$ 上，且 $O Q ∥ P B$ ， $M$ 为 $P B$ 的中点，求证：直线 $O M$ 与直线 $Q F$ 的交点在某定曲线上．

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