辽宁省朝阳市凌源市2022-2023学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $A = {(x ， y) ∣ x + y = 3} ， B = {(x ， y) ∣ x - y = 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $x = 2 ， y = 1$ B、 $(2 ， 1)$ C、 ${(2 ， 1)}$ D、 ${2 ， 1}$

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2. 设命题 $p ： \exists n_{0} \in N ， \sqrt{n_{0}} > 3$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall n \in N ， \sqrt{n} \leq 3$ B、 $\exists n_{0} \in N ， \sqrt{n_{0}} > 3$ C、 $\forall n \in N ， \sqrt{n} > 3$ D、 $\exists n_{0} \in N ， \sqrt{n_{0}} \leq 3$

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3. 若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 分别由下表给出：
$x$
1
2
3
4
$f (x)$
2
3
4
1
$x$
1
2
3
4
$g (x)$
2
1
4
3
则 $g (f (1)) =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. “ $a > c > 0$ 且 $b > d > 0$ ”是“ $a b > c d$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 5 (x \in [- 2 ， 3))$ 的值域是（）

A、 $[2 ， 17]$ B、 $[1 ， 17]$ C、 $[2 ， 13]$ D、 $(1 ， 13)$

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6. 设 $a$ ， $b \in (0 ， + \infty)$ ， $A = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ， $B = \sqrt{a + b}$ ，则 $A$ ， $B$ 的大小关系是（）

A、 $A \leq B$ B、 $A > B$ C、 $A < B$ D、 $A = B$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 6 ， x \geq 0 \\ x + 6 ， x < 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (x) > 3$ 的解集是（）

A、 $(- 3 ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， 3)$ C、 $(- 1 ， 1) ∪ (3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， 3)$

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8. 若定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则满足 $\frac{x^{2} f (x)}{x} \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 0] \cup [2 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， - 1] \cup [0 ， 1]$ C、 $[- 2 ， 0) \cup [2 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， 0) ∪ (0 ， 2]$

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二、多选题

9. 下列函数既是偶函数，又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \sqrt[3]{x^{5}}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = \sqrt{| x |}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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10. 若“ $\exists x \in M ， x < 0$ ”为真命题，“ $\exists x \in M ， x \geq 3$ ”为假命题，则集合M可以是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $[0 ， 2)$ D、 $(- 3 ， 3)$

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11. 下列说法正确的是（）

A、函数 $y = 2 + x + \frac{1}{x} (x < 0)$ 的最大值为0 B、函数 $y = \frac{| x | + 5}{\sqrt{| x | + 4}}$ 的最小值是2 C、若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值是1 D、若 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $a + b + \frac{1}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为A，若对任意 $x ∈ A$ ，存在正数M，使得 $| f (x) | \leq M$ 成立，则称函数 $f (x)$ 是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（）

A、 $f (x) = \frac{3 + x}{4 - x}$ B、 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ C、 $f (x) = \frac{5}{x^{2} - 2 x + 2}$ D、 $f (x) = | x | + \sqrt{4 - | x |}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - x^{2}}}$ 的定义域为．

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14. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + (a + 1) x + a b > 0$ 的解集为 ${x ∣ x \neq 1}$ ，则 $a b$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x^{2} - 2 x + 1 ， x ⩾ 2 \\ x - 2 ， x < 2 \end{array}$ 是R上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 设定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 1$ ，且对任意x， $y \in R$ 都有 $f (x y + 1) = f (x) f (y) - f (y) - x + 2$ ，则 $f (1) =$ ； $f (2022) =$ .

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | (x - a) (x - a - 1) < 0}$ ， $a \in$ R.

(1)、若 $1 \in B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若“ $x ∈ B$ ”是“ $x ∈ A$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 设二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 3 (a ， b \in R)$ .

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 3 ， 1)$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若 $f (1) = 4$ ， $a > 0$ ， $b > 0$ ，求 $\frac{4}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值；

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19. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象关于原点对称，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$

(1)、试求 $f (x)$ 在R上的解析式；

(2)、画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{a x^{2} + 1}$ 是定义域为 $(- 1 ， 1)$ 的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{5}$ .

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性并给出证明；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $f (t + 1) + f (2 t) < 0$ .

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21. 某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入 $50$ 万元，最大产量 $50$ 万斤，每生产 $x$ 万斤，需其他投入 $g (x)$ 万元， $g (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 20 x ， 0 \leq x \leq 35 \\ 60 x + \frac{16000}{x} - 1300 ， 35 < x \leq 50 \end{array}$ ，根据市场调查，该农产品售价每万斤 $50$ 万元，且所有产量都能全部售出.（利润 $=$ 收入 $-$ 成本）

(1)、写出年利润 $F (x)$ （万元）与产量 $x$ （万斤）的函数解析式；

(2)、求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值.

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22. 设函数 $f (x) = m x^{2} + (14 m - 8 m n + 8) x + m ， m ， n \in N^{*}$ .

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $n$ 的值；

(2)、若对 $\forall n \in N^{*}$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 有解，求 $m$ 的最大值.

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$x$	1	2	3	4
$f (x)$	2	3	4	1
$x$	1	2	3	4
$g (x)$	2	1	4	3