辽宁省鞍山市普通高中2022-2023学年高二上学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 三棱柱 $A B C - D E F$ 中， $G$ 为棱 $A D$ 的中点，若 $\vec{B A} = \vec{a} ， \vec{B C} = \vec{b} ， \vec{B D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C G} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

查看试题解析
2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的长轴长为（）

A、4 B、6 C、16 D、8

查看试题解析
3. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2 ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{14}{3}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、2

查看试题解析
4. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线过双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）

A、8 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $4 \sqrt{3}$

查看试题解析
5. 已知直线 $l$ ： $x - y + 4 = 0$ 与圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ ，则 $C$ 上各点到 $l$ 距离的最小值为（　　）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
6. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $A B$ 的中点，则直线 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$

查看试题解析
7. 已知 $P$ 是圆 $F_{1} ： {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 16$ 上的一动点，点 $F_{2} (3 ， 0)$ ，线段 $P F_{2}$ 的垂直平分线交直线 $P F_{1}$ 于点 $Q$ ，则 $Q$ 点的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (x > 0)$

查看试题解析
8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点A的坐标为 $(- \frac{a}{2} ， 0)$ ，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 2 ∠ F_{1} P A$ ，点Q是线段 $P F_{2}$ 的中点，且 $F_{1}$ ， Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知两条直线 $l_{1} ： (a - 2) x + 3 y + 2 a = 0 ， l_{2} ： x + a y + 6 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $l_{1} ⊥ l_{2}$ B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = - 1$ 或 $a = 3$ C、当 $a = 2$ 时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $(- \frac{10}{3} ， - \frac{4}{3})$ D、直线 $l_{1}$ 过定点 $(- 2 ， - \frac{4}{3})$

查看试题解析
10. 对于曲线 $C ： \frac{x^{2}}{k - 2} + \frac{y^{2}}{7 - k} = 1$ ，下面说法正确的是（）

A、若 $k = 3$ ，曲线C的长轴长为4 B、若曲线 $C$ 是椭圆，则 $k$ 的取值范围是 $2 < k < 7$ C、若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则 $k$ 的取值范围是 $k > 7$ D、若曲线 $C$ 是椭圆且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $k$ 的值为 $\frac{11}{3}$ 或 $\frac{16}{3}$

查看试题解析
11. 设 $m$ ， $n$ 为实数，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 与双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{n} = 1$ 有相同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为 $P (\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， y)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $n = 2$ C、 $m = 1$ D、左焦点为 $(- \sqrt{3} ， 0)$

查看试题解析
12. 已知圆 $M ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l ： x + y - 2 = 0$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上运动，直线 $P A ， P B$ 分别于圆 $M$ 切于点 $A ， B$ .则下列说法正确的是（）

A、四边形 $P A M B$ 的面积最小值为 $2 \sqrt{3}$ B、 $| P A |$ 最短时，弦 $A B$ 长为 $\sqrt{6}$ C、 $| P A |$ 最短时，弦 $A B$ 直线方程为 $x + y - 1 = 0$ D、直线 $A B$ 过定点 $(- \frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y + 17 = 0$ 与直线 $x + y = 0$ 相交于A、B两点，则 $| A B | =$ .

查看试题解析
14. 已知平面 $α$ 的法向量是 $\vec{a} = (3 x - 1 ， - 1 ， x + 5)$ ，平面 $β$ 的法向量是 $\vec{b} = (x + 1 ， x^{2} + 3 ， - x)$ ，且 $α ⊥ β$ ，则实数 $x$ 的值为．

查看试题解析
15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 被直线截得的弦AB，弦的中点为 $M (4 ， 2)$ ，则直线AB的斜率为.

查看试题解析
16. 已知点 $M ， N$ 分别是抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 和圆 $D ： (x + 3)^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点， $M$ 到 $C$ 的准线的距离为 $d$ ，则 $| M N | + d$ 的最小值为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y - 12 = 0$ ，直线 $l_{2}$ 过点 $A (- 4 ， 1)$ ， ____．在①直线 $l_{2}$ 的斜率是直线 $y = - \frac{1}{4} x$ 的斜率的2倍，②直线 $l_{2}$ 不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．

(1)、求 $l_{2}$ 的方程；

(2)、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 在x轴上的截距相等，求 $l_{1}$ 在y轴上的截距．

查看试题解析
18. 如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ， A B$ ＝ $2 ， A A_{1}$ ＝1，直线BD与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求异面直线AE与BF所成的角的余弦；

(2)、求点A到平面BDF的距离．

查看试题解析
19. 已知圆 $C$ 经过点 $A (0 ， 2)$ ， $B (6 ， 4)$ ，且圆心在直线 $x - 3 y - 4 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若平面上有两个点 $P (- 6 ， 0)$ ， $Q (6 ， 0)$ ，点 $M$ 是圆 $C$ 上的点且满足 $\frac{| M P |}{| M Q |} = 2$ ，求点 $M$ 的坐标.

查看试题解析
20. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 右顶点重合.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、设过点 $(0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C_{1}$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ， $F$ 是抛物线 $C_{1}$ 的焦点，且 $\vec{F A} \cdot \vec{F B} = - 7$ ，求直线 $l$ 的方程.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点P为E上的一动点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆E的左､右焦点， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过点 $(2 ， 0)$ 的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求 $△ F_{1} P Q$ 面积的最大值及此时l的方程.

查看试题解析
22. 如图，正方形 $A D E F$ 与梯形 $A B C D$ 所在平面互相垂直，已知 $A B / / C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D$ .

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $C D E$ .

(2)、求平面 $B D F$ 与平面 $C D E$ 夹角的余弦值

(3)、线段 $E C$ 上是否存在点 $M$ ，使平面 $B D M ⊥$ 平面 $B D F$ ？若存在，求出 $\frac{E M}{E C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析