江西省宜春市八校2022-2023学年高二上学期数学第一次（12月）联合考试试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 经过点 $A (- 2 ， 0) ， B (- 4 ， 2)$ 两点的直线的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左、右焦点，点Р在椭圆上，若 $| P F_{1} | = | P F_{2} |$ ，则 $| P F_{1} | =$ （）

A、6 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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3. 已知点A（1，2）在圆C： $x^{2} + y^{2} + m x - 2 y + 2 = 0$ 外，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- 3 ， - 2) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， + \infty)$

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4. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 为两两垂直的三个空间单位向量，则 $| 2 \vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\sqrt{13}$

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5. 点 $P (2 ， 0)$ 关于直线 $l ： x + y + 1 = 0$ 的对称点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 3)$ B、 $(- 1 ， - 4)$ C、 $(4 ， 1)$ D、 $(2 ， 3)$

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6. 如图，平面 $A B C$ 内的小方格均为正方形，点 $P$ 为平面 $A B C$ 内的一点， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，设 $\vec{O P} = m \vec{O A} + n \vec{O B} + 2 \vec{O C}$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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7. 已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为平行四边形， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}}$ = $\vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{C M}$ 相等的向量是（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 上的点A，B关于原点对称，若双曲线上的点P(异于点A，B)使得直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率满足 $k_{P A} \cdot k_{P B} = 3$ ，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 对于曲线 $C ： \frac{x^{2}}{8 - k} - \frac{y^{2}}{k - 2} = 1$ ，下列说法正确的有（）

A、曲线C不可能是圆 B、曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 C、若 $k > 8$ ，则曲线C为椭圆 D、若曲线C为双曲线，则 $2 < k < 8$

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10. 已知两个圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ 和 $C_{2}$ ： ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交，则a的值可以是（）

A、－2 B、0 C、1 D、2

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11. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， - 3 ， 2) ， \vec{d} = (2 ， 1 ， x) ，$ 则下列命题中，正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{c}$ ， $\vec{b}$ ⊥ $\vec{c}$ ， $| \vec{c} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{c} = (1 ， 1 ， 1)$ B、以 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的面积是 $7 \sqrt{3}$ C、若 $x < \frac{5}{3}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{d}$ 之间的夹角为钝角 D、若 $x > \frac{5}{3}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{d}$ 之间的夹角为锐角

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12. （多选）已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $e_{1}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的上顶点为M，且 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，双曲线 $C_{2}$ 和椭圆 $C_{1}$ 有相同的焦点，且双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ， $P$ 为曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的一个公共点．若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $\frac{e_{2}}{e_{1}} = 2$ B、 $e_{1} e_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2} = \frac{5}{2}$ D、 $e_{2}^{2} - e_{1}^{2} = 1$

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三、填空题

13. 已知直线x+my+m-2=0在两坐标轴上的截距相等，则实数m的值为.

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14. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为米.

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15. 写出一个经过三点 $(- 2 ， 0)$ ， $(- 4 ， 4)$ ， $(0 ， 1)$ 中的两点且圆心在直线 $l$ ： $x + y = 0$ 上的圆的标准方程为．

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16. 已知点F为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左焦点，过点F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若 $\vec{A F} = 3 \vec{B F}$ ，则C的离心率为．

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四、解答题

17. 已知直线l的方程为 $(m - 2) x + m y + 3 = 0$ ，直线l₁的方程为 $x + (m - 2) y + 4 = 0$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求过点 $A (2 ， - 2)$ 且与l平行的直线方程；

(2)、当直线l⊥l₁时，求实数m的值.

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18. 古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \frac{1}{2}$ ，记动点M的轨迹为曲线C

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过点N(0、4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程.

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19. 已知双曲线C₁过点(4，-6)且与双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 共渐近线，点Р在双曲线C₁上(不包含顶点).

(1)、求双曲线C₁的标准方程；

(2)、记双曲线C₁与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积.

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20. 已知 $O$ 为坐标原点，过点 $M (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 x$ 交于 $A ， B$ 两点.

(1)、证明： $O A ⊥ O B$ ；

(2)、若 $l$ 与坐标轴不平行，且 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 3 = 0$ ，证明：直线 $B D$ 恒与圆 $M$ 相交.

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21. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 是边长为2的正三角形， $B C = A C$ ， $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ， D为 $A B$ 上靠近A的三等分点．

(1)、若 $P B = 2 \sqrt{2}$ ，求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P C B$ ；

(2)、当三棱锥 $P - A B C$ 的体积最大时，求二面角 $B - P D - C$ 的余弦值．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为 $\sqrt{2}$ ， C的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求C的标准方程；

(2)、斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点， $P (2 ， 0)$ ，且总存在实数 $λ \in R$ ，使得 $\vec{P F} = λ (\frac{\vec{P A}}{| \vec{P A} |} + \frac{\vec{P B}}{| \vec{P B} |})$ ，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

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