江西省上饶市民校考试联盟2022-2023学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若直线 $x - 3 y + 1 = 0$ 与 $x + a y - 3 = 0$ 互相垂直，则实数a的值为（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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2. 若点 $(2 a ， a - 1)$ 在圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ 的内部，则a的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， \frac{1}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5} ， 1)$

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3. 冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为1，竹签所在直线方程为 $2 x + y = 0$ ，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（）

A、 $2 x + y \pm 2 = 0$ B、 $2 x + y \pm \sqrt{5} = 0$ C、 $2 x + y \pm 4 = 0$ D、 $2 x + y \pm 2 \sqrt{5} = 0$

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4. 已知直线 $k x + y + 2 = 0$ 和以 $M (3 ， - 1) ， N (- 2 ， 5)$ 为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（）

A、 $k \leq - \frac{7}{2}$ B、 $k \geq \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{7}{2} \leq k \leq \frac{1}{3}$ D、 $k \leq - \frac{7}{2}$ 或 $k \geq \frac{1}{3}$

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5. 设 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线的左，右焦点，若 $| P F_{1} | = 10$ ，则 $| P F_{2} |$ 等于（）

A、2 B、2或18 C、4 D、18

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6. 甲､乙等5名北京冬奥会志愿者到高山滑雪､短道速滑､花样滑冰､冰壶四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去高山滑雪场，则不同的安排方法共有（）

A、96种 B、60种 C、36种 D、24种

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7. 如图.空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在OA上，且满足 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ，点N为BC的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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8. 当曲线 $y = 3 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 与直线 $k x - y - 2 k + 7 = 0$ 有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{4})$ B、 $(- \frac{3}{4} ， \frac{3}{4})$ C、 $(\frac{3}{4} ， 1]$ D、 $(- \infty ， - \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法不正确的是（）

A、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 B、直线 $2 x - y - 1 = 0$ 的一个方向向量(1，2) C、经过点 $P (1 ， 1)$ ，倾斜角为 $θ$ 的直线方程为 $y - 1 = t a n θ (x - 1)$ D、直线 $l ：$ $3 x - 2 y + 5 = 0$ ， $P (m ， n)$ 为直线 $l$ 上动点，则 $(m + 1)^{2} + n^{2}$ 的最小值为 $\frac{4}{13}$

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10. 若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{21} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{33} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

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11. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $6 π$ ，两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为椭圆C的上顶点，点Q为椭圆C上的动点，直线 $y = k x$ 与椭圆C交于A，B两点，若 $P A ， P B$ 的斜率之积为 $- \frac{4}{9}$ ，则椭圆C 中（）

A、短轴长为4 B、渐近线方程为 $y = \pm \frac{4}{9} x$ C、点Q在两处 $∠ F_{1} Q F_{2}$ 取到直角 D、离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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12. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (1 ， 0)$ ，过 $G (8 ， 0)$ 的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（）

A、 $k_{O A} k_{O B}$ 为定值 B、AB中点的轨迹方程为 $y^{2} = 2 x - 16$ C、 $| A F | + | B F |$ 最小值为16 D、O在以AB为直径的圆外

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三、填空题

13. 已知椭圆 $x^{2} + k y^{2} = 3 k (k > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点重合，则该椭圆的离心率是．

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14. 过点 $M (2 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $M$ 恰为 $A ， B$ 中点，则直线 $l$ 的方程为.

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15. $(x - 1) - {(x - 1)}^{2} + {(x - 1)}^{3} - {(x - 1)}^{4} + {(x - 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数等于.

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16. 很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为 $\sqrt{2}$ 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若 $E$ 为线段 $B C$ 的中点，则直线 $D E$ 与直线 $A F$ 所成角的余弦值为.

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四、解答题

17. 知两条不重合的直线 $l_{1} ： a x + 2 y - 1 = 0$ 和 $l_{2} ： x + (a + 1) y - 1 = 0$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $l_{1} ∕ ∕ l_{2}$ ，求a的值；

(2)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求a的值．

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18. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l$ ： $a x + y + 2 a = 0$ ．

(1)、当 $a$ 为何值时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切；

(2)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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19.

(1)、已知 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3，求展开式中的常数项；

(2)、已知 $(1 + a x) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为5，求 $a$ 的值.

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且倾斜角为 $4 5^{°}$ 的直线l与椭圆相交于A，B两点．

(1)、求 $A B$ 的中点的坐标；

(2)、求 $△ A B F_{2}$ 的周长与面积．

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21. 在矩形 $A B C D$ 中（图1）， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ 为 $C D$ 边上的中点，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ，连接 $D B$ ， $D C$ 形成四棱锥 $D - A B C E$ ．

(1)、求证： $B E ⊥ A D$ ．

(2)、求平面 $B C D$ 与平面 $A E D$ 夹角的余弦值．

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22. 如图，已知 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l ： x = - 1$ ， $P$ 为平面上的动点，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为点 $Q$ ，且 $\vec{Q P} \cdot \vec{Q F} = \vec{F P} \cdot \vec{F Q}$ ．

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线交轨迹 $C$ 于 $A ， B$ 两点，交直线 $l$ 于点 $M$ ．
（i）已知 $\vec{M A} = λ_{1} \vec{A F}$ ， $\vec{M B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，求 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值；
（ii）求 $| \vec{M A} | \cdot | \vec{M B} |$ 的最小值．

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