江西省南昌市重点校2023届高三上学期理数12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | l o g_{2} x \leq 2}$ ， $B = {x | 3^{x} < 81}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、32

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2. 已知复数 $z = \frac{1}{i^{2} + i^{3}}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 抛物线 $3 x^{2} + 8 y = 0$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3})$ B、 $(0 ， - \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{2}{3} ， 0)$ D、 $(- \frac{2}{3} ， 0)$

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4. “ $\sqrt{x} \leq \sqrt{y}$ ”成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \leq y$ B、 $0 \leq x \leq y$ C、 $1 \leq x \leq y$ D、 $x \leq y \leq 1$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A、 $6 \sqrt{3} - 2 π$ B、 $6 \sqrt{3} + 2 π$ C、 $12 \sqrt{3} - π$ D、 $12 \sqrt{3} - 2 π$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $s i n^{2} B - s i n^{2} A > s i n^{2} C - \sqrt{3} s i n A s i n C$ ，则 $B$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{3})$ B、 $(0 ， \frac{π}{6})$ C、 $(\frac{π}{3} ， π)$ D、 $(\frac{π}{6} ， π)$

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7. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{6} = 256$ ， $a_{3} + a_{5} = 40$ ，则 $a_{1}^{2} \cdot a_{2}^{2} \cdot ⋯ a_{n}^{2} =$ （）

A、 $2^{\frac{(n + 1) n}{2}}$ B、 $2^{(n + 1) n}$ C、 $2^{(n + 1) n} + 1$ D、 $2^{(n - 1) n} + 1$

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8. 2022年9月5日，四川甘孜州泸定县发生6.8级地震，某医院决定派遣5名医生前往3个区域参与救援，其中男医生3名，女医生2名.要求每个区域至少要有1名男医生，则不同的派遣法有（）

A、18 B、36 C、54 D、72

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9. 如图是由边长为2的正 $△ A B C$ 与正方形 $B C D E$ 拼接成的平面图形，现将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 折起，当二面角 $A - B C - D$ 为 $\frac{π}{6}$ 时，直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 满足 $\forall x \in R$ ， $f (2 + x) + f (x) = - 2 f (- 1)$ ，若函数 $y = f (x - 2)$ 的图象的对称轴为 $x = 2$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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11. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图象如图所示，且存在 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq π$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - \frac{4}{5}$ ，则 $c o s (x_{2} - x_{1}) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，且与双曲线右支交于A， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $△ A F_{1} F_{2}$ 、 $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆的圆心分别为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，则 $△ O O_{1} O_{2}$ 面积的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ B、 $[1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ C、 $[1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ D、 $(1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，若 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = 3 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 已知 ${(2 x^{2} + \frac{1}{a x^{2}})}^{5}$ 展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为.

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15. 已知曲线 $C ： y - 2 = \sqrt{4 - {(x - 2)}^{2}}$ ，直线 $l ： x - y + a = 0$ ，曲线 $C$ 上恰有3个点到直线 $l$ 的距离为1，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 若函数 $f (x) = a^{x} - x^{3} (a > 0 ， a \neq 1)$ 有两个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和.若 $S_{n} > 1$ ，且 $S_{n} = \frac{(a_{n} + 2) (a_{n} + 1)}{6}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ B A D = 120 °$ ， $P A = A B = 4$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是棱 $P D$ 上靠近点 $P$ 的一个三等分点.

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $E F C$ ；

(2)、求二面角 $F - E C - D$ 的余弦值.

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19. 2022年6月27日，四川正式公布新高考政策，将不再进行文理科分科考试，而是按照“ $3 + 1 + 2$ ”的模式.其中“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择一门；“2”为再选科目，考生从化学、生物、地理和思想政治4门科目中自主选择两门.为了迎接新高考，某中学调查了高一年级2000名学生首选科目的选科倾向，随机抽取了150人，统计首选科目人数如下表：

选考历史
选考物理
总计
女生
男生
60
80
总计
50
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、补全 $2 \times 2$ 列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考历史与性别有关”；

(2)、将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该年级4名学生，设这4人中选考物理的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $x$ 轴上一点 $F (1 ， 0)$ 的直线与椭圆交于 $A ， B$ 两点，过 $A ， B$ 分别作直线 $l ： x = a^{2}$ 的垂线，垂足为 $M$ ， $N$ 两点，证明：直线 $A N$ ， $B M$ 交于一定点，并求出该定点坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - 1 + l n x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a \geq 1$ 时，证明：不等式 $x (f (x) - x^{2}) \geq - \frac{1}{e^{x}}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （其中 $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ c o s θ = m t a n θ$ （其中 $m$ 为常数，且 $m > 0$ ）.

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $P$ ，若 $2 | P A | = | P B |$ ，求 $m$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x - a | + 2 | x + b |$ .

(1)、当 $a = b = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 10$ 的解集；

(2)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $f (x)$ 的最小值为2，求证： $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{2 b} \geq 3$ .

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	选考历史	选考物理	总计
女生
男生		60	80
总计	50