江苏省盐城市四校2022-2023学年高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $(- 1 ， + ∞)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

查看试题解析
2. 下列说法正确的是（）

A、圆 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ 的圆心为 $(1 ， 2)$ ，半径为5 B、圆 $(x + 2)^{2} + y^{2} = b^{2} (b \neq 0)$ 的圆心为 $(- 2 ， 0)$ ，半径为 $b$ C、圆 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + {(y + \sqrt{2})}^{2} = 2$ 的圆心为 $(\sqrt{3} ， - \sqrt{2})$ ，半径为 $\sqrt{2}$ D、圆 $(x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$ 的圆心为 $(2 ， 2)$ ，半径为 $\sqrt{5}$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{m} = (\frac{1}{a} ， 1)$ ， $\vec{n} = (2 ， \frac{3}{b})$ ， $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a + b = 1$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 有最小值 $5 + 2 \sqrt{6}$ B、若 $a b = 1$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 有最小值 $\sqrt{6}$ C、若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则 $l o g_{\frac{2}{3}} (\vec{m} \cdot \vec{n})$ 的值为 $- 1$ D、若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $2^{2 b + 3 a}$ 的值为1

查看试题解析
4. 2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）

A、 $\frac{17}{6768}$ B、 $\frac{17}{368}$ C、 $\frac{385}{736}$ D、 $\frac{6785}{13536}$

查看试题解析
5. 把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在 $△ A B C$ 中，点D为线段 $B C$ 的黄金分割点（ $B D > D C$ ）， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{5} - 9}{2}$ B、 $\frac{9 - 7 \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{5} - 7}{2}$ D、 $\frac{7 - 9 \sqrt{5}}{2}$

查看试题解析
6. 如图，由于建筑物AB的底部B是不可能到达的，A为建筑物的最高点，需要测量AB，先采取如下方法，选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在一条直线上在G，H两点用测角仪测得A的仰角为 $α$ ， $β$ ， $C D = a$ ，测角仪器的高度是h，则建筑物AB的高度为（）

A、 $\frac{a s i n β}{s i n (α - β)} + h$ B、 $\frac{a s i n α}{s i n (α - β)} + h$ C、 $\frac{a s i n α s i n β}{s i n (α - β)} + h$ D、 $\frac{a s i n α s i n β}{c o s (α - β)} + h$

查看试题解析
7. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比不等于 $\pm 1$ 的等比数列，若数列 ${a_{n}}$ ， ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ ， ${a_{n}^{2}}$ 的前2023项的和分别为m， $8 - m$ ， 20，则实数m的值（）

A、只有1个 B、有2个 C、无法确定 D、不存在

查看试题解析
8. 若x， $y \in (0 ， + \infty)$ ， $x + l n x = e^{y} + s i n y$ ，则（）

A、 $l n (x - y) < 0$ B、 $l n (y - x) > 0$ C、 $x < e^{y}$ D、 $y < l n x$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则（）

A、数列 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列 B、数列 $a_{1} \cdot a_{2}$ ， $a_{3} \cdot a_{4}$ ， $a_{5} \cdot a_{6}$ 成等比数列 C、数列 $a_{1} + a_{2}$ ， $a_{3} + a_{4}$ ， $a_{5} + a_{6}$ 成等比数列 D、数列 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ ， $a_{7} + a_{8} + a_{9}$ 成等比数列

查看试题解析
10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ， $f (x)$ 图像一个最高点是 $A (\frac{π}{3} ， 2)$ ，距离点A最近的对称中心坐标为 $(\frac{π}{4} ， 0)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $ω$ 的值是6 B、 $x \in (- \frac{π}{12} ， \frac{π}{12})$ 时，函数 $f (x)$ 单调递增 C、 $x = \frac{13 π}{12}$ 时函数 $f (x)$ 图像的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的图像向左平移 $ϕ$ $(ϕ > 0)$ 个单位后得到 $g (x)$ 图像，若 $g (x)$ 是偶函数，则 $ϕ$ 的最小值是 $\frac{π}{6}$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为R，它们的导函数分别为 $f^{'} (x)$ ， $g^{'} (x)$ ．若 $y = f (x + 1)$ 是奇函数， $g^{'} (x) = c o s (π x)$ ， $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象的交点为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{m} ， y_{m})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称 B、 $f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称 D、 $\sum_{i = 1}^{m} (x_{i} + y_{i}) = m$

查看试题解析
12. 已知正四面体ABCD的棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，其外接球的球心为O．点E满足 $\vec{A E} = λ \vec{A B} (0 < λ < 1)$ ， $\vec{C F} = μ \vec{C D} (0 < μ < 1)$ ，过点E作平面 $α$ 平行于AC和BD，平面 $α$ 分别与该正四面体的棱BC，CD，AD相交于点M，G，H，则（）

A、四边形EMGH的周长为是变化的 B、四棱锥 $A - E M G H$ 的体积的最大值为 $\frac{64}{81}$ C、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时，平面 $α$ 截球O所得截面的周长为 $\frac{\sqrt{47}}{2} π$ D、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，将正四面体ABCD绕EF旋转 $90 °$ 后与原四面体的公共部分体积为 $\frac{4}{3}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $i$ 为虚数单位，且复数z满足： $z \cdot i = 1 - 2 i$ ，则复数z的模为．

查看试题解析
14. 若直线 $l_{1}$ ： $2 x + a y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x - y + a = 0$ 平行，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为．

查看试题解析
15. 已知曲线 $y = e^{1 - x} - x l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $m x + y + 2 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ .

查看试题解析
16. 有一张面积为 $8 \sqrt{2}$ 的矩形纸片 $A B C D$ ，其中 $O$ 为 $A B$ 的中点， $O_{1}$ 为 $C D$ 的中点，将矩形 $A B C D$ 绕 $O O_{1}$ 旋转得到圆柱 $O O_{1}$ ，如图所示，若点 $M$ 为 $B C$ 的中点，直线 $A M$ 与底面圆 $O$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $E F$ 为圆柱的一条母线（与 $A D$ ， $B C$ 不重合），则当三棱锥 $A - E F M$ 的体积取最大值时，三棱锥 $A - E F M$ 外接球的表面积为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = c o s x (s i n x - \sqrt{3} c o s x) (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ．若 $f (\frac{B}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

查看试题解析
18. 在① $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n + t$ ；② $a_{2} = 3 ， a_{1} ， a_{3} ， a_{7}$ 成等比数列；③ $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} - 2$ ；这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．
已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且____．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、定义在数列 ${a_{n}}$ 中，使 $l o g_{3} (a_{n} + 1)$ 为整数的 $a_{n}$ 叫做“调和数”，求在区间[1，2022]内所有“调和数”之和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
19. 如图所示，在三棱锥A -BCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，且 $B D = \sqrt{6} ， A D = \sqrt{2} ， A B = 2 \sqrt{2}$ ， BC⊥AC.

(1)、证明：BC⊥平面ACD；

(2)、若点F为棱BC的中点， $\vec{A E} = 2 \vec{E F}$ ，且 $C D = \sqrt{3}$ ，求平面CDE与平面ABD夹角的余弦值.

查看试题解析
20. 如图，半径为1的光滑圆形轨道圆 $O_{1}$ 、圆 $O_{2}$ 外切于点 $M$ ，点 $H$ 是直线 $O_{1} O_{2}$ 与圆 $O_{2}$ 的交点，在圆形轨道 $O_{1}$ 、圆 $O_{2}$ 上各有一个运动质点 $P$ ， $Q$ 同时分别从点 $M$ 、 $H$ 开始逆时针绕轨道做匀速圆周运动，点 $P$ ， $Q$ 运动的角速度之比为2：1，设点 $Q$ 转动的角度为 $θ$ ，以 $O_{1}$ 为原点， $O_{1} O_{2}$ 为 $x$ 轴建立平面直角坐标系．

(1)、若 $θ$ 为锐角且 $s i n (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $P$ 、 $Q$ 的坐标；

(2)、求 $| P Q |$ 的最大值．

查看试题解析
21. 定义椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的“蒙日圆”的方程为 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，已知椭圆 $C$ 的长轴长为4，离心率为 $e = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；

(2)、过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆 $C$ 的一条切线 $M A$ ， A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点 $D$ ， O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为 $k_{1} ， k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} s i n x - a x$ ．（ $e$ 是自然对数的底数）

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $0 < a < 6$ ，试讨论 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的零点个数．（参考数据： $e^{\frac{π}{2}} \approx 4.8$ ）

查看试题解析