江苏省苏州市吴江区2022-2023学年高一上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x \leq 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， \sqrt{5}}$ ，则 $A ∩ B =$ （　　）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， \sqrt{5}}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0}$

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2. 若 $f (x) = (l o g_{2} m + 1) x^{m + 1}$ 为幂函数，则 $f (3) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、9 D、 $\frac{1}{9}$

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3. 命题“ $\forall x \in R ， 3 x^{2} + l g 2 x + 2 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x_{0} \in R ， 3 {x_{0}}^{2} + l g 2 x_{0} + 2 \geq 0$ B、 $\forall x \in R ， 3 x^{2} + l g 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R ， 3 x^{2} + l g 2 x + 2 \geq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R ， 3 {x_{0}}^{2} + l g 2 x_{0} + 2 \leq 0$

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4. 若 $- 1 < α < β < 1$ ，则 $α - β$ 的范围为（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1)$

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5. 下列图象表示的函数中没有零点的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = l o g_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $c = 2^{- 3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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7. 已知 $a > 1$ ，设函数 $f (x) = a^{x} + x - 2$ 的零点为m， $g (x) = l o g_{a} x + x - 2$ 的零点为n，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(\frac{7}{2} ， + \infty)$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $(\frac{9}{2} ， + \infty)$

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8. 已知 $α ， β$ 满足 $α e^{α} = e^{3} ， β (l n β - 1) = e^{4}$ ，其中e是自然对数的底数，则 $α β$ 的值为（）

A、e B、 $e^{2}$ C、 $e^{3}$ D、 $e^{4}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、 $a \in Q$ 是 $a \in R$ 的充分不必要条件 B、 $| x | = | y |$ 是 $x = y$ 的必要不充分条件 C、 $x^{2} > 1$ 是 $x > 1$ 的充分不必要条件 D、 $a + b < 0$ 是 $a < 0 ， b < 0$ 的必要不充分条件

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10. 已知函数 $f (x) = l n (x^{2} + 2 x + m)$ ，则（）

A、当 $m < 1$ 时， $f (x)$ 的定义域为R B、 $f (x)$ 一定存在最小值 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 D、当 $m \leq 1$ 时， $f (x)$ 的值域为R

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11. 对于 $a > 0 ， b > 0$ ，下列不等式中正确的是（）

A、 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \geq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ B、 $a b \geq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ C、 $a b ⩽ {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ D、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$

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12. 已知函数 $f (x^{2} + 1) = \sqrt{2 - x^{2}} + | x |$ ，则下列选项中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值M与最小值N的比值为 $\sqrt{2}$ B、函数 $f (x)$ 的最大值M与最小值N的比值为2 C、函数 $f (x)$ 的定义域为[ $- \sqrt{2} ， \sqrt{2}$ ] D、函数 $f (x)$ 的定义域为 $[1 ， 3]$

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三、填空题

13. $135 °$ 的圆心角所对的弧长是 $3 π c m$ ，则圆半径是 $c m$ .

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14. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{6 + x - x^{2}}}$ 的递减区间是.

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15. 若函数 $f (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x} + 8$ 在 $(0 ， 2)$ 上只有一个零点，则a的取值范围．

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} + m ， x \geq 0 \\ g (x) ， x < 0 \end{array}$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，则 $m =$ ， $f (\log_{2} \frac{1}{3}) =$ .

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四、解答题

17.

(1)、在 $0 ° ∼ 720 °$ 范围内写出与 $- 1050 °$ 终边相同的角的集合，并判断该角是第几象限角；

(2)、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (4 ， - 3)$ ，求 $2 s i n α + c o s α$ 的值．

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18. 计算下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} - {(- 2021)}^{0}$ ；

(2)、 ${(l g 2)}^{2} + l g 5 (l g 2 + 1) + 4 l o g_{4} \sqrt{3} \cdot l o g_{3} 2$ .

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19. 已知 $l o g_{2} (x + y) = l o g_{2} x + l o g_{2} y$ ，求：

(1)、 $x + 2 y$ 的最小值；

(2)、 $\frac{4 x}{x - 1} + \frac{9 y}{y - 1}$ 的最小值；

(3)、正数 $z$ 满足 $\frac{1}{x + y} + \frac{1}{z} = 1$ ，求 $z$ 的取值范围.

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20. “小黄城外芍药花，十里五里生朝霞，花前花后皆人家，家家种花如桑麻.”这是清代文学家刘开有描写安徽亳州的诗句，亳州位于安徽省西北部，有“中华药都”之称.亳州自商汤建都到今，已有3700年的文明史，是汉代著名医学家华佗的故乡，由于一代名医的影响，带动了亳州医药的发展，到明､清时期亳州就是全国四大药都之一，现已是“四大药都”之首.亳州建有全球规模最大､设施最好､档次最高的“中国（亳州）中药材交易中心”，已成为全球最大的中药材集散地，以及价格形成中心.某校数学学习小组在假期社会实践活动中，通过对某药厂一种中药材销售情况的调查发现：该中药材在2021年的价格浮动最大的一个月内（以30天计）日平均销售单价 $M (x)$ （单位：元/千克）与第 $x$ 天（ $1 \leq x \leq 30 ， x \in N^{*}$ ）的函数关系满足 $M (x) = \frac{k}{x + 1} + 20$ （ $k$ 为正常数）.该中药材的日销售量 $N (x)$ （单位：千克）与 $x$ 的部分数据如下表所示：
$x$
4
10
20
30
$N (x)$
149
155
165
155
已知第4天该中药材的日销售收入为3129元.（日销售收入=日销售单价 $\times$ 日销售量）

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下四种函数模型：① $N (x) = a^{x} + b$ ， ② $N (x) = a (x - 20)^{2} + b$ ， ③ $N (x) = a | x - 20 | + b$ ， ④ $N (x) = a \cdot l o g_{b} x$ ，请你根据表中的数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该中药材的日销售量 $N (x)$ 与 $x$ 的关系，并求出该函数的解析式和日销售收入 $f (x)$ （单位：元）的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) + k x (k \in R)$ 是偶函数.

(1)、求实数k的值；

(2)、设 $g (x) = l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，若函数f（x）的图象与 $g (x) = l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ 的图象有且仅有一个公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = | 1 - \frac{1}{x} | (x > 0)$ .

(1)、当 $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ 时，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值；

(2)、是否存在实数a、 $b (a < b)$ ，使得函数 $y = f (x)$ 的定义域、值域都是 $[a ， b]$ .若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由；

(3)、若存在实数a、 $b (a < b)$ 使得函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ 时，值域为 $[m a ， m b] (m \neq 0)$ ，求实数m的范围.

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$x$	4	10	20	30
$N (x)$	149	155	165	155