江苏省南通市2022-2023学年高三上学期数学12月调研测试试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合M满足 $∁_{U} M = {1 ， 3 ， 5}$ ，则（）

A、2M B、 $3 \in M$ C、 $4 \in M$ D、6M

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2. 已知复数z满足 $i z = 1 + i$ （i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A、i B、1 C、－i D、－1

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3. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，则 $\vec{C B} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} \vec{C D} - \frac{1}{2} \vec{C A}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{C D} + \frac{1}{2} \vec{C A}$ C、 $3 \vec{C D} - 2 \vec{C A}$ D、 $3 \vec{C D} + 2 \vec{C A}$

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4. 将一个圆形纸片剪成两个扇形（没有多余角料），将它们分别卷曲粘贴成圆锥形状（重叠部分忽略不计），若两个扇形的面积比为1∶2，则两圆锥的高之比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{6 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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5. 已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 $A (1 ， a)$ ， $B (2 ， b)$ ，且 $| a - b | = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、1

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6. 设k为实数，若双曲线 $7 k x^{2} - k y^{2} = 7$ 的一个焦点坐标为 $(0 ， - 5)$ ，则k的值为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt[]{2}$ C、 $- \frac{8}{25}$ D、 $\frac{8}{25}$

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7. 某同学研究如下数表时，发现其特点是每行每列都成等差数列，在表中，数41出现的次数为（）
2
3
4
5
6
…
3
5
7
9
11
…
4
7
10
13
16
…
5
9
13
17
21
…
…
…
…
…
…
…

A、8 B、9 C、10 D、11

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8. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} + m (x l n x + \frac{1}{2} x^{2} - x)$ 存在极大值点和极小值点，则实数 $m$ 的值可以是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $- \frac{7}{2}$

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = - n^{2} + 13 n + 1$ （ $n \in N^{*}$ ），则下列说法正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 为等差数列 B、 $a_{1} = 13$ C、 $S_{n}$ 中， $S_{6}$ 、 $S_{7}$ 最大 D、 ${a_{n}}$ 为递增数列

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10. 已知函数 $f (x) = s i n x - a c o s x$ （ $x \in R$ ）的最大值为2， $f^{'} (\frac{π}{2}) < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a = \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{7 π}{6}]$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 图像的一条对称轴 D、把 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图像关于点 $(\frac{7 π}{12} ， 0)$ 对称

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11. 已知 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上两点，则下列结论正确的是（）

A、若点O到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则 $| A B | = \sqrt{3}$ B、若 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ C、若 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = \frac{1}{2}$ ，则点O到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $| x_{1} + y_{1} - 1 |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ ，最小值为 $\sqrt{2} - 1$

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f ′ (x)$ ， $f (2 x - 1) + f (3 - 2 x) = f (- 2)$ ， $g (1 - x) + g (- 3 x) = g (- \frac{1}{2})$ ，则（）

A、 $f (4) = 0$ B、 $g (2) = g (- 1)$ C、 $g (- \frac{1}{2}) = 0$ D、 $g (2022) = g (0)$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ ，对任意实数 $x$ 都有 $f (- x) + f (x) = 0$ ，则实数 $a$ 的值为．

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14. 若关于x的不等式 $a x^{2} - x + a ⩽ 0$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上有解，则实数a的取值范围是．

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15. 一个圆台两个底面的直径分别为2、4，该圆台存在内切球，则该圆台的体积为．

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16. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 x$ ，点 $P (2 ， 2)$ ， O是坐标原点，A，B，M，N是抛物线C上的四个动点， $k_{O A} \cdot k_{O B}$ $= k_{O M} \cdot k_{O N} = - 1$ ，过点P分别作 $A B$ ， $M N$ 的垂线，垂足分别为E，F，则点 $E F$ 距离的最大值为．

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四、解答题

17. $T_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项积，且 $\frac{2}{a_{n}} + \frac{1}{T_{n}} = 1$ ．

(1)、证明：数列 ${T_{n} + 1}$ 是等比数列；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $∠ C A B = \frac{π}{3}$ ， $A C = 2$ ，点M在线段 $A B$ 上．

(1)、若 $c o s ∠ C M A = \frac{\sqrt{33}}{6}$ ，求 $C M$ 的长；

(2)、点N是线段 $C B$ 上一点， $M N = \sqrt{7}$ ，且 $B M + B N = 4 + \sqrt{3}$ ，求证： $S_{△ B M N} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ．

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19. 在一个袋子里有大小一样的6个小球，其中有4个红球和2个白球．

(1)、现有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布及期望；

(2)、现无放回地依次从中摸出1个球，连摸2次，求第二次摸出白球的概率；

(3)、若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为Y，求 $Y = 4$ 的概率．

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20. 三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， E是 $A B$ 的中点，平面 $A_{1} C_{1} E$ 交平面 $A B C$ 于直线l．

(1)、求证： $A C ∥ l$ ；

(2)、求直线 $B_{1} C$ 与平面 $A_{1} C_{1} E$ 所成角的正弦值．

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21. 设椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，点 $G (1 ， - \frac{3}{2})$ 在椭圆E上．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设点T在直线 $x = 3$ 上，过T的两条直线分别交E于A，B两点和P，Q两点，且 $| T A | \cdot | T B | = | T P | \cdot | T Q |$ ，求直线 $A B$ 的斜率与直线 $P Q$ 的斜率之和．

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22. 函数 $f (x) = a l n (x + 1) + x^{2} - x$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围；

(2)、设 $0 < a < 1$ ，试探究函数 $f (x)$ 的零点个数．

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2	3	4	5	6	…
3	5	7	9	11	…
4	7	10	13	16	…
5	9	13	17	21	…
…	…	…	…	…	…