湖南省长沙市A佳教育联盟2022-2023学年高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} - 1}}$ ， $B = {y | y = 3^{x} ， x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $[1 ， 3)$

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2. 若复数 $z i = 2 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{13}$ D、13

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3. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面内两个不共线的向量， $\vec{A B} = λ \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} - μ \vec{b}$ ， $λ$ ， $μ \in R$ ，则A，B，C三点共线的充要条件是（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $λ μ = - 1$ C、 $λ μ = 1$ D、 $λ = - μ$

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4. 市面上出现某种如图所示的手工冰淇淋甜筒，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该几何体进行测量，圆台下底面半径为2cm，上底面半径为5cm．高为4cm，上方的圆锥高为6cm，则此冰淇淋的体积为（）

A、 $\frac{266 π}{3} c m^{3}$ B、 $102 π c m^{3}$ C、 $\frac{196 π}{3} c m^{3}$ D、 $63 π c m^{3}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 对任意 $x ∈ R$ ，都有 $f (3 - x) = f (x + 1)$ 成立，又函数 $f (x + 1)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称，且 $f (1) = 3$ ，则 $f (61) =$ （）

A、－3 B、－1 C、1 D、3

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6. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，若 $c o s (\frac{a}{4} π - θ) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，过左焦点且与实轴垂直的弦长为1，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} + k_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(\sqrt{2} ， + \infty)$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $a_{1} = \frac{π}{4}$ ， $f (a_{n + 1}) = \sqrt{f^{'} (a_{n})}$ ，其中 $f (x) = t a n x$ ．若 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{t a n a_{n + 1} - t a n a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则使得 $T_{2 m} = 10$ 成立的 $m =$ （）

A、60 B、61 C、120 D、121

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二、多选题

9. 2022年夏天，我国部分地区迎来罕见的高温干旱天气，其特点是持续时间长、范围广、强度大、干旱少雨、极端性强．中央气象局国家气象中心发布的统计数据显示，本次高温热浪的综合强度，已达1961年有完整气象记录以来最强．某地气象部门统计当地进入8月份以来（8月1日至8月10日）连续10天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：
根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有（）

A、最高温的众数为37℃ B、最高温的平均值为37.9℃ C、第9天的温差最小 D、最高温的方差大于最低温的方差

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10. 已知点P在圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，直线 $l$ ： $4 x + 3 y - 12 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A ， B$ 两点，则（）

A、过点 $B$ 作圆O的切线，则切线长为 $2 \sqrt{3}$ B、满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ 的点 $P$ 有3个 C、点 $P$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $\frac{22}{5}$ D、 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最小值是 $1$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上有且仅有3个不同的零点 B、 $f (x)$ 的最小正周期可能是 $\frac{π}{2}$ C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{10}{3} ， \frac{13}{3})$ D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{12})$ 上单调递增

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12. 若 $6^{a} = 3$ ， $6^{b} = 3$ ，则下列不等关系正确的有（）

A、 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1} < 2$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 4$ C、 $a^{2} + b^{2} > \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{a} (b + \frac{1}{3 b}) > 2$

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三、填空题

13. 若二项式 ${(2 x - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中所有项的系数和为1，则展开式中含x项的系数为．

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14. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 \sqrt{x + 2} ， 0 < x < e \\ x - 3 ， x \geq e \end{array}$ ，若 $f (a - 5) = f (a)$ ，则 $a =$ ．

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15. 在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是边长为 $4 \sqrt{6}$ 的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为4．该四棱锥的外接球O的半径为7，若球心O在四棱锥P－ABCD内，则顶点P的轨迹长度为．

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16. 已知抛物线E： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点， $F$ 为 $A C$ 的中点，且 $| A F | = 3$ ，则 $p =$ ；设点 $M$ 是抛物线 $E$ 上的任意一点，抛物线 $E$ 的准线与 $y$ 轴交于 $N$ 点，在 $△ F M N$ 中 $| M N | = m | M F |$ ， $m \in R$ ，则 $m$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 5$ ，点 $P (a_{n} ， a_{n + 1})$ 在直线 $x - y + 2 = 0$ ，设数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满 $2 S_{n} = 3 b_{n} - 3$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在 $k \in N^{*}$ ，使得对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \frac{a_{k}}{b_{k}}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，设角 $A ， B ， C$ 所对的边长分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c = 2 b - 2 a c o s C$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $s i n B s i n C$ 的值．

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19. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开．某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神．其中“学习二十式进行竞赛．甲、乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记－1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙单位全部答对的概率为 $\frac{3}{5}$ ，甲、乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响．

(1)、经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；

(2)、若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率．

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20. 如图1，在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $M ， N$ 分别是边 $B C ， C D$ 上的点，且 $M N ∥ B D$ ， $A C \cap M N = G$ ．沿 $M N$ 将 $△ C M N$ 翻折到 $△ P M N$ 的位置，连接 $P A ， P B ， P D$ ，得到如图2所示的五棱锥 $P - A B M N D$ ．

(1)、在翻折过程中是否总有 $B D ⊥$ 平面 $P A G$ ？证明你的结论；

(2)、若平面 $P M N ⊥$ 平面 $A B M N D$ ，记 $\frac{M N}{B D} = λ$ ， $λ \in (0 ， 1)$ ，试探究：随着 $λ$ 值的变化，二面角 $B - P M - N$ 的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，上顶点为 $B_{1}$ ，下顶点为 $B_{2}$ ， $△ B_{1} F B_{2}$ 为等腰直角三角形，且直线 $F B_{1}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过 $P (0 ， 2)$ 的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ )，直线 $B_{1} E$ ， $B_{2} D$ 相交于点Q．证明：点Q在一条平行于x轴的直线上．

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22. 已知函数 $f (x) = - (a + 1) x + l n x$ ， $φ (x) = \frac{a}{2} x^{2} + x + \frac{a}{2}$ ，（ $a \in R$ ）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 4$ 时，若方程 $f (x) + φ (x) = 0$ 在 $(0 ， 1)$ 内存在唯一实根 $x_{0}$ ，求证： $x_{0} \in (\frac{1}{4} ， \frac{1}{e})$ ．

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