湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2023-01-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = (2 ， 5]$ ， $B = {x | x^{2} - 11 x + 10 < 0}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $[5 ， 10)$ B、 $(1 ， 2] \cup (5 ， 10)$ C、 $(- ∞ ， 2] \cup (5 ， + ∞)$ D、 $(1 ， 2) \cup (5 ， 10)$

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2. 命题“存在一个三角形，它的内角和小于 $180 °$ ”的否定形式是（）

A、任何一个三角形，它的内角和不大于 $180 °$ B、存在一个三角形，它的内角和大于 $180 °$ C、任何一个三角形，它的内角和不小于 $180 °$ D、存在一个三角形，它的内角和不小于 $180 °$

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3. 已知函数 $f (x) = 4 x - 3$ ，若 $f (g (x)) = 2 x + 3$ ，则函数 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ B、 $g (x) = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ C、 $g (x) = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ D、 $g (x) = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$

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4. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} x$ ，则方程 ${[f (x)]}^{2} = 2 + l o g_{4} (\frac{x}{2})$ 的解为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $\sqrt[3]{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $2 \sqrt{2}$ D、 $2$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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5. 已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，则 $x (1 - 2 x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、1

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6. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则（）

A、 $f (0 . 4^{0.3}) < f (0 . 3^{0.4}) < f (l o g_{3} \frac{1}{4})$ B、 $f (l o g_{3} \frac{1}{4}) < f (0 . 3^{0.4}) < f (0 . 4^{0.3})$ C、 $f (l o g_{3} \frac{1}{4}) < f (0 . 4^{0.3}) < f (0 . 3^{0.4})$ D、 $f (0 . 3^{0.4}) < f (0 . 4^{0.3}) < f (l o g_{3} \frac{1}{4})$

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7. 已知函数 $f (x) = | l o g_{3} x |$ ，若 $a < b$ ，有 $f (a) = f (b)$ ，则 $a + 4 b$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $(5 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = 202 2^{x} + l o g_{2022} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - 202 2^{- x} + 1011$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (4 x + 1) + f (2 x + 1) - 2022 < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty ， - \frac{2}{3})$ D、 $(- ∞ ， 1011)$

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二、多选题

9. 下列选项正确的是（）

A、若集合 $A = {x | a x^{2} + 4 x + 4 = 0 ， x \in R}$ 有 $2$ 个子集，则 $a < 1$ B、若集合 ${0 ， 1 ， a} = {- 1 ， c ， \frac{1}{b}}$ ，则 $a + b + c = 0$ C、若集合 $A = {x | x < 5}$ ， $B = {x | x < a}$ ，若 $A ⊆ B$ ，则 $a$ 的取值范围是 $a > 5$ D、若集合 $A = {x | \frac{x}{2} \in Z}$ ， $B = {y | \frac{y - 1}{2} \in Z}$ ，则 $A \cup B = Z$

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10. 已知 $a ， b ， c ， d \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $a > b > 0$ 且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ B、 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ C、 $a > b > 0 ， c < d < 0$ ，则 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ D、 $a > b > 0$ ，则 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{b}{a}$

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11. 已知函数 $f (x) = 3^{- 2 x^{2} - a x}$ ， $a \in R$ ，下列成立的是（）

A、若 $f (x)$ 是偶函数，则 $a = 0$ B、 $f (x)$ 的单调增区间是 $(- ∞ ， - \frac{a}{4}]$ C、 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， 1)$ D、当 $a \in (0 ， 1)$ 时，方程 $f (x) - a = 0$ 都有两个实数根

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12. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[a ， b]$ ，值域也为 $[a ， b]$ ，则称 $[a ， b]$ 为 $f (x)$ 的“保值区间”.下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ 不存在保值区间 B、函数 $h (x) = | 1 - \frac{1}{x} | ， (x > 0)$ 存在保值区间 C、若函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + 6$ 存在保值区间 $[2 ， b]$ ，则 $b = 3$ D、若函数 $g (x) = t - \sqrt{x + 2}$ 存在保值区间，则 $t \in (- \frac{5}{4} ， - 1]$

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三、填空题

13. 若 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $[\frac{1}{3} ， m)$ 上的最大值为 $\frac{10}{3}$ ，则实数 $m$ 的最大值为.

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14. 已知全集 $U = R$ ， $A = {x | \frac{2}{x - 1} \leq 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = - 2 a^{x + m} + n (m > - 2 ， n > 0)$ 所过的定点在一次函数 $y = 2 x + 1$ 的图像上，则 $\frac{2}{m + 2} + \frac{4}{n}$ 的最小值为.

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16. $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， 0 < x < 2 \\ x^{2} - 6 x + 9 ， x \geq 2 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - (2 t + 1) f (x) + t^{2} + t = 0 (t \leq 0)$ 有且仅有四个不相等的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} + x_{3} + x_{4} + t$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $(l g^{2} 2 + l g 2 l g 5) \frac{l n 10}{l n 2} + 3^{l o g_{3} e}$ ；

(2)、 $(- 0.1)^{0} + {(\frac{4}{2^{\sqrt{2}}})}^{2 + \sqrt{2}} + \frac{a - a^{- 1}}{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{\frac{1}{a^{2}}} + 1} + a^{- \frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

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18. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} + 8 x + 12 \leq 0} ， B = {x ∣ x^{2} + (a^{2} + a + 1) x + a^{3} + a \leq 0} ， a$ 为实常数.

(1)、用区间表示出 $A$ 与 $B$ ；

(2)、条件 $p ： x \in A$ ，条件 $q ： x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x - \sqrt{1 + 2 x} ， g (x) = 2 l g x + a$ .

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若对于 $\forall x_{2} \in (10 ， 100]$ ，都 $\exists x_{1} \in [- \frac{1}{2} ， + ∞)$ ，使得 $g (x_{2}) > f (x_{1})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知定义在 $D = (- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\forall x$ 、 $y \in D$ ，有： $f (x y) = f (x) + f (y)$ .当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、证明： $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y)$ ；

(2)、若 $f (- 2) = 1$ ，解不等式： $f (1 - 2 x) < - 2$ .

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21. 核酸检测分析是用苂光定量 $P C R$ 法，通过化学物质的苂光信号，对在 $P C R$ 扩增进程中成指数级增加的靶标 $D N A$ 实时监测，在 $P C R$ 扩增的指数时期，苂光信号强度达到阚值时， $D N A$ 的数量 $X_{n}$ 与扩增次数 $n$ 满足 $l g X_{n} = n l g (1 + p) + l g X_{0}$ ，其中 $p$ 为扩增效率， $X_{0}$ 为 $D N A$ 初始量.

(1)、若某被测标本 $D N A$ 扩增10次后， $D N A$ 的数量变为了 $D N A$ 初始量的1000倍，求该样本的扩增效率；（参考数据： $1 0^{0.3} \approx 1.995$ ， $1 0^{- 0.3} \approx 0.501$ ）

(2)、若扩增效率为 $1 ， D N A$ 初始量为5，但由于实验条件的制约， $D N A$ 的数量不能超过 $1 0^{50}$ .则最多可以扩增多少次？（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ）

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22. 已知在定义域内单调的函数满足 $f (f (x) + \frac{1}{2^{x} + 1} - l n x) = \frac{2}{3}$ 恒成立.

(1)、设 $f (x) + \frac{1}{2^{x} + 1} - l n x = k$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、解不等式 $f (7 + 2 x) > - \frac{2^{x}}{2^{x} + 1} + l n (- e x)$ ；

(3)、设 $g (x) = f (x) - l n x$ ，若 $g (x) \geq m g (2 x)$ 对于任意的 $x \in [1 ， 2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围，并指出取等时 $x$ 的值.

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